Derive a função.
y=\cos \left(\frac{1-e^{2 x}}{1+e^{2 x}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \cos\!\biggl(\frac{1 - e^{2x}}{1 + e^{2x}}\biggr).
Aqui vamos usar o conteúdo de derivadas de funções compostas (regra da cadeia), derivada de cosseno e derivada de quociente (regra do quociente), além da derivada de exponencial.

Passo 2

Defina
u(x) = \frac{1 - e^{2x}}{1 + e^{2x}},
então y = \cos\bigl(u(x)\bigr). Pela regra da cadeia,
y' = \frac{d}{dx}\bigl[\cos(u)\bigr] = -\sin\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot u'(x).

Passo 3

Calcule u'(x) aplicando a regra do quociente em
u(x) = \frac{f(x)}{g(x)},\quad f(x)=1-e^{2x},\;g(x)=1+e^{2x}.
Temos
f'(x) = -2e^{2x},\qquad g'(x)=2e^{2x},
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u'(x) = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2} = \frac{(-2e^{2x})(1+e^{2x}) - (1-e^{2x})(2e^{2x})}{(1+e^{2x})^2}.
No numerador,
(-2e^{2x}-2e^{4x}) - (2e^{2x}-2e^{4x}) = -4e^{2x},
portanto
u'(x) = \frac{-4e^{2x}}{(1+e^{2x})^2}.

Passo 4

Substituindo u'(x) em y', fica
y' = -\sin\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot \frac{-4e^{2x}}{(1+e^{2x})^2} = \frac{4e^{2x}}{(1+e^{2x})^2}\;\sin\!\biggl(\frac{1 - e^{2x}}{1 + e^{2x}}\biggr).

Resposta

y' = \frac{4\,e^{2x}}{\bigl(1+e^{2x}\bigr)^2}\;\sin\!\Bigl(\frac{1 - e^{2x}}{1 + e^{2x}}\Bigr).

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