Derive a função.
y=x^{2} \operatorname{sen} x \operatorname{tg} x

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos derivar a função
y = x^{2}\,\sin x\,\tan x.
O conteúdo aqui é a regra do produto de três funções e as derivadas básicas de potenciação e funções trigonométricas.

Passo 2

Identificamos os três fatores e suas derivadas:
f(x)=x^{2},\quad g(x)=\sin x,\quad h(x)=\tan x;
f'(x)=2x,\quad g'(x)=\cos x,\quad h'(x)=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto para três fatores:
y' = f'(x)\,g(x)\,h(x) \;+\; f(x)\,g'(x)\,h(x) \;+\; f(x)\,g(x)\,h'(x).

Passo 4

Substituindo as derivadas:
y' = 2x\sin x\tan x \;+\; x^{2}\cos x\tan x \;+\; x^{2}\sin x\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 5

Note que \cos x\tan x = \cos x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=\sin x. Assim o segundo termo simplifica e podemos fatorar x\sin x:
y' = 2x\sin x\tan x + x^{2}\sin x + x^{2}\sin x\operatorname{sec}^{2}x = x\sin x\bigl(2\tan x + x + x\operatorname{sec}^{2}x\bigr).

Resposta

y' = 2x\sin x\tan x + x^{2}\sin x + x^{2}\sin x\operatorname{sec}^{2}x.

Exercícios relacionados