Num triângulo A B C, sabe-se que B C=10 \sqrt{ } 2 \mathrm{~cm}, \hat{A}=30^{\circ} e \hat{C}=45^{\circ}. Determine o lado AB .
a) 5 cm
b) 10 cm
c) 5 \sqrt{ } 2 \mathrm{~cm}
d) 10 \sqrt{3} \mathrm{~cm}
e) 20 cm

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC com \,BC=10\sqrt{2}\,\text{cm}, \hat A=30^\circ e \hat C=45^\circ.
Queremos AB. Como temos dois ângulos e o lado oposto a um deles, vamos usar a lei dos senos, que relaciona lados e senos dos ângulos opostos em qualquer triângulo.

Passo 2

Denotemos
a = BC,\quad b = CA,\quad c = AB
e saibamos que cada lado é oposto ao seu respectivo ângulo: a\leftrightarrow A, b\leftrightarrow B, c\leftrightarrow C.

Passo 3

Pela lei dos senos temos
\frac{a}{\sin A} \;=\;\frac{c}{\sin C}.

Passo 4

Primeiro calculamos a razão a/\sin A:
\frac{a}{\sin A} =\frac{10\sqrt{2}}{\sin30^\circ} =\frac{10\sqrt{2}}{\tfrac12} =20\sqrt{2}.
Em seguida, isolamos c:
c = \frac{a}{\sin A}\,\sin C =20\sqrt{2}\,\sin45^\circ =20\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =20.

Resposta

e) 20 cm

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