Derive a função.
g(x)=\ln \left(x e^{2 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
g(x)=\ln\bigl(xe^{2x}\bigr).
O conteúdo envolvido é a derivação de funções logarítmicas e a aplicação de propriedades de logaritmo (regra do produto e logaritmo de potência). Vamos usar a propriedade \ln(ab)=\ln a+\ln b
e o fato de que \ln\bigl(e^{u}\bigr)=u.

Passo 2

Aplicando as propriedades de logaritmo, escrevemos
g(x)=\ln(x)+\ln\bigl(e^{2x}\bigr)
e como \ln\bigl(e^{2x}\bigr)=2x, obtemos
g(x)=\ln(x)+2x.

Passo 3

Agora derivamos termo a termo. Para x>0:
  • A derivada de \ln(x) é \tfrac{1}{x}.
  • A derivada de 2x é 2.
    Logo,
g'(x)=\frac{1}{x}+2.

Resposta

g'(x)=\frac{1}{x}+2.

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