Derive a função.
Passo 1
O que o problema pede: derivar a função
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Observação importante sobre o domínio: a função
só está definida para
. Portanto toda a expressão e a derivada fazem sentido quando
.
Passo 2
Qual método vamos usar (sem resolver ainda): aqui a função é uma exponencial composta — tem a forma
com
. Então a regra mais direta é usar a regra da cadeia para
e, dentro dela, usar a regra do produto para derivar
, porque
é produto de
por
.\n
Rápida revisão das regras que vamos aplicar (aqui te ensino como usar na prova):
Rápida revisão das regras que vamos aplicar (aqui te ensino como usar na prova):
Explicando: a derivada da exponencial é a própria exponencial vezes a derivada do que está no expoente.\n
Explicando: para derivar produto, deriva-se a primeira e multiplica pela segunda, somando o termo onde se deriva a segunda e multiplica pela primeira.\n
Também vamos usar que
Também vamos usar que
Exemplo rápido e prático: se
, por regra da cadeia
. Viu como é direto? Aqui é igual, só que o expoente é um produto, daí aplicamos produto depois.
Passo 3
Definimos o expoente como
Agora derivamos
usando a regra do produto com
e
.\n
Calculamos e
.\n
Aplicando a regra do produto:
Calculamos
Aplicando a regra do produto:
Simplificando o segundo termo:
Logo
Podemos fatorar
para ficar mais compacto:
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia para
:
Substituindo
e
que já achamos:
Passo 5
Fazemos uma simplificação algébrica: podemos fatorar
no segundo fator:
Além disso, como
(válido para
), podemos reescrever a derivada de forma alternativa:
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais bonita na prova.
Passo 6
Cheque rápido para ver se bate (sanity check): tomar
. Como
, temos
. Pela fórmula:
o que faz sentido e confirma que a expressão está consistente naquele ponto especial.
Passo 7
Resumo do raciocínio que você deve reproduzir na prova: identifique
, calcule
por produto, e aplique a regra da cadeia para
. Não esqueça de mencionar o domínio
por causa do
. Força aí — tu consegue!