Derive a função.
y(x)=e^{x^{2} \ln x}

Passo 1

O que o problema pede: derivar a função y(x)=e^{x^{2}\ln x}.\n
Informações dadas:
y(x)=e^{x^{2}\ln x}
Observação importante sobre o domínio: a função \ln x só está definida para x>0. Portanto toda a expressão e a derivada fazem sentido quando x>0.

Passo 2

Qual método vamos usar (sem resolver ainda): aqui a função é uma exponencial composta — tem a forma e^{u(x)} com u(x)=x^{2}\ln x. Então a regra mais direta é usar a regra da cadeia para e^{u(x)} e, dentro dela, usar a regra do produto para derivar u(x), porque u é produto de x^{2} por \ln x.\n
Rápida revisão das regras que vamos aplicar (aqui te ensino como usar na prova):
\text{(Regra da cadeia)}\quad \frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Explicando: a derivada da exponencial é a própria exponencial vezes a derivada do que está no expoente.\n
\text{(Regra do produto)}\quad \frac{d}{dx}\big(f(x)g(x)\big)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
Explicando: para derivar produto, deriva-se a primeira e multiplica pela segunda, somando o termo onde se deriva a segunda e multiplica pela primeira.\n
Também vamos usar que
\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}\quad (x>0).
Exemplo rápido e prático: se h(x)=e^{x^{3}}, por regra da cadeia h'(x)=e^{x^{3}}\cdot 3x^{2}. Viu como é direto? Aqui é igual, só que o expoente é um produto, daí aplicamos produto depois.

Passo 3

Definimos o expoente como
u(x)=x^{2}\ln x.
Agora derivamos u(x) usando a regra do produto com f(x)=x^{2} e g(x)=\ln x.\n
Calculamos f'(x)=\frac{d}{dx}x^{2}=2x e g'(x)=\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}.\n
Aplicando a regra do produto:
u'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=2x\cdot\ln x + x^{2}\cdot\frac{1}{x}.
Simplificando o segundo termo:
x^{2}\cdot\frac{1}{x}=x.
Logo
u'(x)=2x\ln x + x.
Podemos fatorar x para ficar mais compacto:
u'(x)=x\big(2\ln x + 1\big).

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para y(x)=e^{u(x)}:
y'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Substituindo u(x) e u'(x) que já achamos:
y'(x)=e^{x^{2}\ln x}\cdot\big(2x\ln x + x\big).

Passo 5

Fazemos uma simplificação algébrica: podemos fatorar x no segundo fator:
y'(x)=e^{x^{2}\ln x}\cdot x\big(2\ln x + 1\big).
Além disso, como e^{x^{2}\ln x}=(e^{\ln x})^{x^{2}}=x^{x^{2}} (válido para x>0), podemos reescrever a derivada de forma alternativa:
y'(x)=x^{x^{2}}\cdot x\big(2\ln x + 1\big)=x^{x^{2}+1}\big(2\ln x + 1\big).
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais bonita na prova.

Passo 6

Cheque rápido para ver se bate (sanity check): tomar x=1. Como \ln 1=0, temos y(1)=e^{1^{2}\cdot 0}=1. Pela fórmula:
y'(1)=e^{0}\cdot 1\cdot(2\cdot 0+1)=1,
o que faz sentido e confirma que a expressão está consistente naquele ponto especial.

Passo 7

Resumo do raciocínio que você deve reproduzir na prova: identifique u(x)=x^{2}\ln x, calcule u'(x) por produto, e aplique a regra da cadeia para e^{u(x)}. Não esqueça de mencionar o domínio x>0 por causa do \ln x. Força aí — tu consegue!

Resposta

y'(x)=e^{x^{2}\ln x}\cdot x\big(2\ln x + 1\big)=x^{x^{2}+1}\big(2\ln x + 1\big)

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