Encontrar a condição para que o desenvolvimento de (1+a)^{n} ( n é um inteiro positivo), segundo as poténcias de a \neq 0, contém dois termos consecutivos iguais. É possivel que o desenvolvimento contenha trés termos consecutivos iguais?

Passo 1

O enunciado dá a expansão binomial de (1+a)^{n}, com n inteiro positivo e a\neq 0, e pergunta duas coisas:
  1. Qual a condição para que haja dois termos consecutivos iguais na expansão segundo as potências de a?
  2. É possível que haja três termos consecutivos iguais?
Informações relevantes que temos (sem resolver ainda):
  • A expansão de (1+a)^{n} tem termos da forma \displaystyle \binom{n}{k}a^{k}, com k=0,1,\dots,n.
  • Queremos encontrar quando existem índices consecutivos k e k+1 tais que os termos correspondentes sejam iguais.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente o termo genérico e recordar uma propriedade útil dos coeficientes binomiais.
O termo de ordem k na expansão é
T_k=\binom{n}{k}a^{k}.
Aqui \binom{n}{k} é o coeficiente binomial definido por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
que é sempre um número inteiro positivo para 0\le k\le n.
Uma relação importante entre coeficientes binomiais consecutivos é
\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}}=\frac{n-k}{k+1}.
Essa relação vem de manipular as fatoriais ou cancelar termos em \binom{n}{k+1}=\dfrac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}.

Passo 3

Agora impomos a igualdade entre dois termos consecutivos: T_k=T_{k+1} para algum k\in\{0,\dots,n-1\}. Escrevendo:
\binom{n}{k}a^{k}=\binom{n}{k+1}a^{k+1}.
Como a\neq 0, podemos dividir por a^{k} e obter
\binom{n}{k}=\binom{n}{k+1}\,a.
Usando a relação entre coeficientes binomiais, substituímos \binom{n}{k+1}=\binom{n}{k}\dfrac{n-k}{k+1}. Assim
\binom{n}{k}=\binom{n}{k}\frac{n-k}{k+1}\,a.
Como \binom{n}{k}\neq 0, podemos cancelar e ficar com
1=\frac{n-k}{k+1}\,a.
Isolando a,
a=\frac{k+1}{n-k}.

Passo 4

Interpretação prática dessa condição:
  • Para existir dois termos consecutivos iguais deve haver um inteiro k com 0\le k\le n-1 tal que
a=\frac{k+1}{n-k}.
  • Note que, para k nesse intervalo, k+1>0 e n-k>0. Logo o valor de a dado por essa razão é sempre positivo. Portanto uma consequência imediata é que, se ocorrerem dois termos consecutivos iguais, necessariamente a>0.
  • Podemos também resolver para k em termos de a. Da igualdade a(n-k)=k+1 obtemos
k=\frac{an-1}{1+a}.
Portanto, dada a e n, basta verificar se \dfrac{an-1}{1+a} é um inteiro entre 0 e n-1.

Passo 5

Exemplo prático (útil para a prova): tome n=5. Os possíveis k são 0,1,2,3,4. As respectivas a que fazem T_k=T_{k+1} são
a=\frac{1}{5},\\ \frac{2}{4}=\frac{1}{2},\\\ 1,\\\ 2,\\\ 5.
Por exemplo, para a=1 e n=5 temos k=\dfrac{5\cdot1-1}{1+1}=\dfrac{4}{2}=2, inteiro, e de facto \binom{5}{2}1^2=\binom{5}{3}1^3=10: os termos de ordem 2 e 3 são iguais.
No exame: ao receber n e a, calcule k=(an-1)/(1+a). Se for inteiro e 0\le k\le n-1, então existe um par de termos consecutivos iguais; caso contrário, não existe.

Passo 6

Agora tratamos da possibilidade de três termos consecutivos iguais: quereríamos T_k=T_{k+1}=T_{k+2} para algum k. Das igualdades consecutivas obtemos duas fórmulas para a:
a=\frac{k+1}{n-k}\qquad\text{e}\qquad a=\frac{k+2}{n-k-1}.
Igualando essas expressões:
\frac{k+1}{n-k}=\frac{k+2}{n-k-1}.
Fazendo o produto em cruz e simplificando chegamos a uma igualdade em n:
(k+1)(n-k-1)=(k+2)(n-k).
Desenvolvendo e simplificando (faça passo a passo: expandir ambos os lados e cancelar termos semelhantes) obtemos
-n-1=0,
ou seja
n=-1,
o que contradiz n inteiro positivo. Portanto não há solução possível.

Passo 7

Conclusão prática e dica de prova rápida: dois termos consecutivos iguais ocorrem exatamente quando a tem a forma racional \dfrac{k+1}{n-k} com k inteiro no intervalo permitido; e três termos consecutivos iguais são impossíveis (levariam a n=-1). Força aí — essa é direta de aplicar na prova: montar a igualdade entre termos, usar a razão dos binomiais e verificar integridade do k.

Resposta

Condição: existe k\in\{0,1,\dots,n-1\} tal que a=\dfrac{k+1}{n-k}, equivalently k=\dfrac{an-1}{1+a} é inteiro nessa faixa (portanto a>0).
Três termos consecutivos iguais: não, é impossível.

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