Encontrar a condição para que o desenvolvimento de
(
é um inteiro positivo), segundo as poténcias de
, contém dois termos consecutivos iguais. É possivel que o desenvolvimento contenha trés termos consecutivos iguais?
Passo 1
O enunciado dá a expansão binomial de
, com
inteiro positivo e
, e pergunta duas coisas:
- Qual a condição para que haja dois termos consecutivos iguais na expansão segundo as potências de
? - É possível que haja três termos consecutivos iguais?
Informações relevantes que temos (sem resolver ainda):
- A expansão de
tem termos da forma , com . - Queremos encontrar quando existem índices consecutivos
e tais que os termos correspondentes sejam iguais.
Passo 2
Vamos escrever explicitamente o termo genérico e recordar uma propriedade útil dos coeficientes binomiais.
O termo de ordem
na expansão é
Aqui
é o coeficiente binomial definido por
que é sempre um número inteiro positivo para
.
Uma relação importante entre coeficientes binomiais consecutivos é
Essa relação vem de manipular as fatoriais ou cancelar termos em
.
Passo 3
Agora impomos a igualdade entre dois termos consecutivos:
para algum
. Escrevendo:
Como
, podemos dividir por
e obter
Usando a relação entre coeficientes binomiais, substituímos
. Assim
Como
, podemos cancelar e ficar com
Isolando
,
Passo 4
Interpretação prática dessa condição:
- Para existir dois termos consecutivos iguais deve haver um inteiro
com tal que
- Note que, para
nesse intervalo, e . Logo o valor de dado por essa razão é sempre positivo. Portanto uma consequência imediata é que, se ocorrerem dois termos consecutivos iguais, necessariamente . - Podemos também resolver para
em termos de . Da igualdade obtemos
Portanto, dada
e
, basta verificar se
é um inteiro entre
e
.
Passo 5
Exemplo prático (útil para a prova): tome
. Os possíveis
são
. As respectivas
que fazem
são
Por exemplo, para
e
temos
, inteiro, e de facto
: os termos de ordem
e
são iguais.
No exame: ao receber
e
, calcule
. Se for inteiro e
, então existe um par de termos consecutivos iguais; caso contrário, não existe.
Passo 6
Agora tratamos da possibilidade de três termos consecutivos iguais: quereríamos
para algum
. Das igualdades consecutivas obtemos duas fórmulas para
:
Igualando essas expressões:
Fazendo o produto em cruz e simplificando chegamos a uma igualdade em
:
Desenvolvendo e simplificando (faça passo a passo: expandir ambos os lados e cancelar termos semelhantes) obtemos
ou seja
o que contradiz
inteiro positivo. Portanto não há solução possível.
Passo 7
Conclusão prática e dica de prova rápida: dois termos consecutivos iguais ocorrem exatamente quando
tem a forma racional
com
inteiro no intervalo permitido; e três termos consecutivos iguais são impossíveis (levariam a
). Força aí — essa é direta de aplicar na prova: montar a igualdade entre termos, usar a razão dos binomiais e verificar integridade do
.
Resposta
Condição: existe
tal que
, equivalently
é inteiro nessa faixa (portanto
).
Três termos consecutivos iguais: não, é impossível.
Três termos consecutivos iguais: não, é impossível.