Derive a função.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
definida por
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão dentro da raiz é
. - A função
só está definida para , então já temos . - Como há raiz quadrada, precisamos também de
, ou seja , o que implica . - Portanto a função está definida em
.
O que se pede: encontrar
, a derivada de
em pontos onde ela existe.
Passo 2
Vamos usar o princípio do “encadeamento” (chain rule). Em palavras simples: se uma função é uma composição de uma função externa e uma função interna, a derivada é a derivada da externa avaliada na interna vezes a derivada da interna.
Em forma geral, se
, então
Aqui não estou resolvendo ainda, só explicando a regra que vou aplicar.
Passo 3
Identifico as funções externa e interna na composição:
- Função externa
. - Função interna
.
Logo.
Passo 4
Derivada da função externa. Para
usamos a regra de potência:
Aqui
é a variável genérica da função externa (mais adiante vamos substituir
). A interpretação: a derivada de uma raiz quadrada é inversamente proporcional à raiz.
Passo 5
Derivada da função interna. Para
temos
Pequena justificativa para
: se
então
; diferenciando,
, logo
.
Passo 6
Aplico a regra da cadeia:
. Substituindo as expressões obtidas:
Agora substituo
:
Fiz a simplificação multiplicando os fatores.
Passo 7
Domínio da derivada: para que
faça sentido precisamos de
(pela
) e
(para evitar divisão por zero na raiz). Assim
existe para
. Em
a função
está definida (
) mas a derivada não existe porque a fórmula dá divisão por zero. Exemplo numérico: em
temos
e