Derive a função.
g(t)=\sqrt{1-\ln t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função g definida por
g(t)=\sqrt{1-\ln t}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão dentro da raiz é 1-\ln t.
  • A função \ln t só está definida para t>0, então já temos t>0.
  • Como há raiz quadrada, precisamos também de 1-\ln t \ge 0, ou seja \ln t \le 1, o que implica t \le e.
  • Portanto a função está definida em 0<t\le e.
O que se pede: encontrar g'(t), a derivada de g em pontos onde ela existe.

Passo 2

Vamos usar o princípio do “encadeamento” (chain rule). Em palavras simples: se uma função é uma composição de uma função externa e uma função interna, a derivada é a derivada da externa avaliada na interna vezes a derivada da interna.
Em forma geral, se G(t)=F(H(t)), então
G'(t)=F'(H(t))\cdot H'(t).
Aqui não estou resolvendo ainda, só explicando a regra que vou aplicar.

Passo 3

Identifico as funções externa e interna na composição:
  • Função externa F(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}.
  • Função interna H(t)=1-\ln t.
    Logo g(t)=F(H(t)).

Passo 4

Derivada da função externa. Para F(u)=u^{1/2} usamos a regra de potência:
F'(u)=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
Aqui u é a variável genérica da função externa (mais adiante vamos substituir u=H(t)). A interpretação: a derivada de uma raiz quadrada é inversamente proporcional à raiz.

Passo 5

Derivada da função interna. Para H(t)=1-\ln t temos
H'(t)=0-\frac{d}{dt}(\ln t)=-\frac{1}{t}.
Pequena justificativa para \dfrac{d}{dt}(\ln t)=\dfrac{1}{t}: se y=\ln t então t=e^{y}; diferenciando, \dfrac{dt}{dy}=e^{y}=t, logo \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1}{t}.

Passo 6

Aplico a regra da cadeia: g'(t)=F'(H(t))\cdot H'(t). Substituindo as expressões obtidas:
g'(t)=\frac{1}{2\sqrt{H(t)}}\cdot\left(-\frac{1}{t}\right).
Agora substituo H(t)=1-\ln t:
g'(t)=-\frac{1}{2t\sqrt{1-\ln t}}.
Fiz a simplificação multiplicando os fatores.

Passo 7

Domínio da derivada: para que g'(t) faça sentido precisamos de t>0 (pela \ln) e 1-\ln t>0 (para evitar divisão por zero na raiz). Assim g'(t) existe para 0<t<e. Em t=e a função g está definida ( g(e)=0) mas a derivada não existe porque a fórmula dá divisão por zero. Exemplo numérico: em t=1 temos \ln 1=0 e
g'(1)=-\frac{1}{2\cdot 1\cdot \sqrt{1-0}}=-\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle g'(t)=-\frac{1}{2t\sqrt{1-\ln t}}

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