Derive a função.
y=\log _{x}\left(x^{2}+3 x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y=\log_{x}\left(x^{2}+3x\right).
Informações relevantes que o enunciado dá e que precisamos guardar:
\text{função: } y=\log_{x}\left(x^{2}+3x\right).çã
Condições do domínio (importantes para manipulações com logaritmos):
\text{base: }x>0\\ \text{e }x\neq 1,\qquad \text{argumento: }x^{2}+3x>0.
A condição do argumento dá x(x+3)>0, que ocorre para x>0 ou x<-3. Como a base do logaritmo deve ser positiva e diferente de 1, combinando essas condições obtemos o domínio prático para derivação:
x>0,\\ x\neq 1.

Passo 2

Vamos transformar o logaritmo de base variável para logaritmo natural, usando a fórmula de mudança de base. A fórmula é:
\log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a},
onde \ln é o logaritmo natural. Aplicando à nossa função obtemos
y=\frac{\ln\big(x^{2}+3x\big)}{\ln x}.
Isso facilita a derivação porque agora temos uma razão de duas funções (uma sobre a outra).

Passo 3

Definimos duas funções auxiliares para aplicar a regra do quociente:
u(x)=\ln\big(x^{2}+3x\big),\qquad v(x)=\ln x,
de modo que
y=\frac{u(x)}{v(x)}.
Lembrete da regra do quociente: se y=\dfrac{u}{v} então
y'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Vou calcular u' e v' separadamente.

Passo 4

Derivando u(x)=\ln\big(x^{2}+3x\big) usamos a regra da cadeia: a derivada de \ln(w) em relação a x é \dfrac{w'}{w}, onde w=w(x). Aqui w(x)=x^{2}+3x e w'(x)=2x+3. Portanto
u'(x)=\frac{2x+3}{x^{2}+3x}.
Se quiser ver de outro jeito, note que x^{2}+3x=x(x+3), então u'(x)=\dfrac{2x+3}{x(x+3)}, que é o mesmo resultado escrito de forma fatorada.

Passo 5

Derivando v(x)=\ln x é direto: a derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}. Logo
v'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:
y'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} =\frac{\displaystyle \frac{2x+3}{x^{2}+3x}\cdot \ln x \;-\; \ln\big(x^{2}+3x\big)\cdot\frac{1}{x}}{(\ln x)^{2}}.
Agora vamos colocar os termos do numerador sobre um denominador comum para simplificar. O denominador comum natural é x(x+3)=x^{2}+3x. Colocando tudo sobre esse denominador:
\text{numerador}=\frac{(2x+3)\ln x}{x(x+3)}-\frac{(x+3)\ln\big(x^{2}+3x\big)}{x(x+3)}.
Portanto
y'=\frac{\displaystyle \frac{(2x+3)\ln x-(x+3)\ln\big(x^{2}+3x\big)}{x(x+3)}}{(\ln x)^{2}} =\frac{(2x+3)\ln x-(x+3)\ln\big(x^{2}+3x\big)}{x(x+3)\,(\ln x)^{2}}.

Passo 7

Podemos simplificar ainda mais usando a propriedade dos logaritmos (válida no nosso domínio x>0):
\ln\big(x^{2}+3x\big)=\ln\big(x(x+3)\big)=\ln x+\ln(x+3).
Substituindo esse resultado no numerador:
(2x+3)\ln x-(x+3)\big(\ln x+\ln(x+3)\big).
Desenvolvendo:
(2x+3)\ln x-(x+3)\ln x-(x+3)\ln(x+3).
Agrupando termos com \ln x:
\big((2x+3)-(x+3)\big)\ln x-(x+3)\ln(x+3).
E (2x+3)-(x+3)=x, logo o numerador simplifica para
x\ln x-(x+3)\ln(x+3).

Passo 8

Substituindo a simplificação na expressão da derivada obtemos a forma mais compacta e agradável:
y'=\frac{x\ln x-(x+3)\ln(x+3)}{x(x+3)\,(\ln x)^{2}}.
Essa é a derivada final, válida para x>0 e x\neq 1 (domínio onde a expressão original está definida e as manipulações com \ln foram permitidas).

Resposta

y'=\frac{x\ln x-(x+3)\ln(x+3)}{x(x+3)\,(\ln x)^{2}}

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