Derive a função.
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações relevantes que o enunciado dá e que precisamos guardar:
Condições do domínio (importantes para manipulações com logaritmos):
A condição do argumento dá
, que ocorre para
ou
. Como a base do logaritmo deve ser positiva e diferente de 1, combinando essas condições obtemos o domínio prático para derivação:
Passo 2
Vamos transformar o logaritmo de base variável para logaritmo natural, usando a fórmula de mudança de base. A fórmula é:
onde
é o logaritmo natural. Aplicando à nossa função obtemos
Isso facilita a derivação porque agora temos uma razão de duas funções (uma sobre a outra).
Passo 3
Definimos duas funções auxiliares para aplicar a regra do quociente:
de modo que
Lembrete da regra do quociente: se
então
Vou calcular
e
separadamente.
Passo 4
Derivando
usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
, onde
. Aqui
e
. Portanto
Se quiser ver de outro jeito, note que
, então
, que é o mesmo resultado escrito de forma fatorada.
Passo 5
Derivando
é direto: a derivada de
é
. Logo
Passo 6
Aplicando a regra do quociente:
Agora vamos colocar os termos do numerador sobre um denominador comum para simplificar. O denominador comum natural é
. Colocando tudo sobre esse denominador:
Portanto
Passo 7
Podemos simplificar ainda mais usando a propriedade dos logaritmos (válida no nosso domínio
):
Substituindo esse resultado no numerador:
Desenvolvendo:
Agrupando termos com
:
E
, logo o numerador simplifica para
Passo 8
Substituindo a simplificação na expressão da derivada obtemos a forma mais compacta e agradável:
Essa é a derivada final, válida para
e
(domínio onde a expressão original está definida e as manipulações com
foram permitidas).