derive as funcates:
g(x)=raizxx+1

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função g(x)=√(x/(x+1)). Vamos usar conceitos de derivada de função composta (regra da cadeia) e derivada de quociente.

Passo 2

Primeiro escrevemos g(x) como potência para aplicar a regra da cadeia. Temos
g(x)=(xx+1)^tfrac12
Pela regra da cadeia, se g(x)=h(f(x)) com h(u)=u^{1/2} e f(x)=x/(x+1), então
g'(x)=h'(f(x))cdot f'(x)=12(f(x))^-1/2cdot f'(x)

Passo 3

Agora calculamos f’(x) onde f(x)=x/(x+1). Usamos a regra do quociente:
f'(x)=(1),(x+1)-x,(1)(x+1)^2=x+1-x(x+1)^2=1(x+1)^2

Passo 4

Substituindo f(x) e f’(x) em g’(x) e simplificando:
g'(x)=12(xx+1)^-1/2cdot1(x+1)^2 =12raizxx+1,(x+1)^2
Como raiztfracxx+1=tfracraiz xraizx+1, o denominador vira
2,(x+1)^2,tfracraiz xraizx+1=2raiz x,(x+1)^3/2.
Portanto, a derivada fica numa forma bem simples e prática de usar.

Resposta

g'(x)=12,raizx,(x+1)^3/2

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