Calcular um valor aproximado para as seguintes raízes, usando diferencial.
$ \sqrt[2]{63,5} $;

Passo 1

O enunciado pede aproximar a raiz quadrada de 63,5 usando diferenciais. O conteúdo envolve aproximação de funções por diferencial, para o qual precisamos da derivada da função associada.

Passo 2

Definimos a função f(x)=raizx e calculamos sua derivada:
f'(x)=12raizx

Passo 3

Escolhemos o ponto de expansão a=64 porque raiz64=8 é exato.

Passo 4

Calculamos o incremento de x: dx=63.5-64=-0.5 e então o diferencial:
df=f'(64),dx=12raiz64cdot(-0.5)=116cdot(-0.5)=-0.03125

Passo 5

Aproximamos f(63.5) pela soma de f(64) com o diferencial:
f(63.5)approx f(64)+df=8-0.03125=7.96875

Resposta

A raiz aproximada é 7.96875.

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