Derive as funções:
h(x)=(2 x-13 x^2+x-2)^3

Passo 1

Beleza, o enunciado quer a derivada de
h(x)=l(tfrac2x-13x^2+x-2r)^3.
Aqui a gente vai usar dois esquemas de derivada:
  1. Regra da cadeia, porque tem uma potência de uma função.
  2. Regra do quociente, porque dentro da potência tem uma fração.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar a função externa e a interna.
Define
u(x)=2x-13x^2+x-2 e h(x)=l(u(x)r)^3
A regra da cadeia diz que, para h(x)=f(u(x)),
h'(x)=f'l(u(x)r),cdot,u'(x)
Aqui f(z)=z^3, então f'(z)=3z^2. Assim
h'(x)=3l(u(x)r)^2;cdot;u'(x) =3l(tfrac2x-13x^2+x-2r)^2;u'(x)

Passo 3

Agora precisamos de u'(x). Como
u(x)=n(x)d(x) com n(x)=2x-1,;d(x)=3x^2+x-2,
a regra do quociente manda
u'(x) =n'(x),d(x);-;n(x),d'(x)l(d(x)r)^2
Calcula cada pedacinho:
  • n'(x)=2.
  • d'(x)=6x+1.
    Então
u'(x) =2,(3x^2+x-2);-;(2x-1),(6x+1)(3x^2+x-2)^2

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
2,(3x^2+x-2)=6x^2+2x-4,
(2x-1)(6x+1)=12x^2+2x-6x-1=12x^2-4x-1
Subtraindo:
6x^2+2x-4 ;-;(12x^2-4x-1) =-6x^2+6x-3 =-3(2x^2-2x+1)
Logo
u'(x) =-3l(2x^2-2x+1r)(3x^2+x-2)^2
Voltando na cadeia:
h'(x) =3l(tfrac2x-13x^2+x-2r)^2 ;times; -3(2x^2-2x+1)(3x^2+x-2)^2 =-9;(2x-1)^2,(2x^2-2x+1)(3x^2+x-2)^4

Resposta

boxedh'(x) =-9,(2x-1)^2,(2x^2-2x+1)(3x^2+x-2)^4

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