Derive as funções:
g(x)=3 sen 2 x1+cos ^2 2 x

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para derivar a função
g(x)=3sin(2x)1+cos^2(2x)
Isso é um exercício de derivada de função trigonométrica composta, usando a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos precisar:
  1. derivada de sin(u) e cos(u);
  2. regra da cadeia (quando a gente tem sin(2x) e cos^2(2x));
  3. regra do quociente (para u(x)v(x)).

Passo 2

Identifica as partes para a regra do quociente:
u(x)=3sin(2x), v(x)=1+cos^2(2x)
A regra do quociente diz que
l(tfracuvr)' = u'v - u,v'v^2

Passo 3

Agora calcula u'(x) e v'(x):
  1. Para u(x)=3sin(2x):
    • derivada de sin(2x) é cos(2x)cdot(2) (regra da cadeia),
    • então u'(x)=3cdot2cos(2x)=6cos(2x)
  2. Para v(x)=1+cos^2(2x):
    • a constante 1 some na derivada,
    • derivada de cos^2(2x): use a cadeia duas vezes:
      ddx[cos^2(u)] = 2cos(u)cdot(-sin(u))cdot u',
      aqui u=2x e u'=2,
    • então v'(x)=2cos(2x)cdot[-sin(2x)]cdot2 = -4sin(2x)cos(2x)

Passo 4

Aplica a regra do quociente:
g'(x) = u'v - u,v'v^2 = 6cos(2x)l(1+cos^2(2x)r);-;3sin(2x)l[-4sin(2x)cos(2x)r]l(1+cos^2(2x)r)^2
No segundo termo, o sinal “–” e o “–4” viram “+4”:
g'(x) = 6cos(2x)l(1+cos^2(2x)r) + 12sin^2(2x)cos(2x)l(1+cos^2(2x)r)^2

Passo 5

Fatora 6cos(2x) no numerador:
6cos(2x)l(1+cos^2(2x)+2sin^2(2x)r)
Lembra que sin^2(2x)+cos^2(2x)=1, então
1+cos^2(2x)+2sin^2(2x) = ( sin^2(2x)+cos^2(2x) ) +1 +sin^2(2x) = 1+1+sin^2(2x) =2+sin^2(2x)
Ficamos com
g'(x) = 6cos(2x)l(2+sin^2(2x)r)l(1+cos^2(2x)r)^2

Resposta

g'(x) = 6cos(2x)l(2+sin^2(2x)r)l(1+cos^2(2x)r)^2

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