Mostre que a função
é diferenciável no ponto
e determine
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é diferenciável em
e determinar o seu diferencial
. Para isso, vamos usar o critério de diferenciabilidade para funções de duas variáveis: se as derivadas parciais de
existem e são contínuas num entorno de
, então
é diferenciável ali, e o diferencial é dado pelo gradiente.
Passo 2
Calculando as derivadas parciais gerais de
:
Passo 3
Como
e
são polinômios em
, elas são contínuas em todo o
. Logo, pelo critério de diferenciabilidade,
é
e, portanto, diferenciável em
.
Passo 4
Agora avaliamos as derivadas parciais em
:
Resposta
O diferencial de
em
é o mapeamento linear