Mostre que a função f(x, y)=x^3 y^2+x^2 y^3 é diferenciável no ponto (2,1) e determine f^prime(2,1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,y)=x^3y^2+x^2y^3
é diferenciável em (2,1) e determinar o seu diferencial f'(2,1). Para isso, vamos usar o critério de diferenciabilidade para funções de duas variáveis: se as derivadas parciais de f existem e são contínuas num entorno de (2,1), então f é diferenciável ali, e o diferencial é dado pelo gradiente.

Passo 2

Calculando as derivadas parciais gerais de f:
partial fpartial x(x,y) =3x^2y^2+2x,y^3,
partial fpartial y(x,y) =2x^3y+3x^2y^2

Passo 3

Como partial fpartial x e partial fpartial y são polinômios em (x,y), elas são contínuas em todo o R^2. Logo, pelo critério de diferenciabilidade, f é C^1 e, portanto, diferenciável em (2,1).

Passo 4

Agora avaliamos as derivadas parciais em (2,1):
partial fpartial x(2,1) =3cdot2^2cdot1^2+2cdot2cdot1^3 =12+4=16,
partial fpartial y(2,1) =2cdot2^3cdot1+3cdot2^2cdot1^2 =16+12=28

Resposta

O diferencial de f em (2,1) é o mapeamento linear
f'(2,1)colon(h,k)longmapsto 16,h + 28,k

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