Derive as funções:
f(x)=tg x-1sec x------ [R: f^prime(x)=1+tg xsec x]

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=tan x-1sec x
e pede f'(x). Vamos usar a regra do produto, já que podemos reescrever f como produto de duas funções, além das derivadas básicas de tan x e cos x.

Passo 2

Como sec x=1/cos x, temos
f(x)=l(tan x-1r)cos x

Passo 3

Definimos
u(x)=tan x-1, v(x)=cos x
Então
u'(x)=sec^2 x, v'(x)=-sin x,
e pela regra do produto
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

Passo 4

Substituindo, fica
f'(x)=sec^2 xcdotcos x+(tan x-1)cdot(-sin x)
Agora simplificamos termo a termo:
sec^2 xcdotcos x =1cos^2 xcdotcos x =1cos x =sec x,
e
(tan x-1)(-sin x) =-tan xsin x+sin x =-sin^2 xcos x+sin x
Somando em denominação comum cos x:
f'(x) =sec x -sin^2 xcos x +sin x =1-sin^2 x+sin xcos xcos x
Como 1-sin^2 x=cos^2 x, o numerador vira
cos^2 x+sin xcos x=cos x(cos x+sin x),
logo
f'(x) =cos x(cos x+sin x)cos x =cos x+sin x

Passo 5

Para chegar à forma pedida observe que
cos x+sin x =(1+tan x)cos x =1+tan xsec x

Resposta

f'(x)=1+tan xsec x

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