Exercício 3.7.6. Calcule o comprimento do arco especificado em cada uma das curvas:
x=12 y^3+16 y, 1 <= y <= 3.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva definida por
x = tfrac12,y^3 + tfrac16,y,
para y variando de 1 a 3. O conteúdo que iremos usar é a fórmula de comprimento de arco de uma curva dada por x=f(y), que é
L = integraly1^y2 raiz1 + l(f'(y)r)^2;dy

Passo 2

Vamos calcular a derivada
dxdy = ddyl(tfrac12,y^3 + tfrac16,yr) = tfrac12 cdot 3,y^2 - tfrac16,y^-2 = tfrac32,y^2 - tfrac16,y^2

Passo 3

Montamos o integrando:
1 + l(tfracdxdyr)^2 = 1 + l(tfrac32,y^2 - tfrac16,y^2r)^2
Ao expandir, obtemos
1 + l(tfrac32y^2r)^2 - 2cdot tfrac32y^2cdottfrac16,y^2 + l(tfrac16,y^2r)^2 = tfrac94y^4 + tfrac12 + tfrac136,y^4,
que é exatamente
l(tfrac32,y^2 + tfrac16,y^2r)^2
Como tudo é positivo no intervalo, segue
raiz1 + l(tfracdxdyr)^2 = tfrac32,y^2 + tfrac16,y^2

Passo 4

O comprimento de arco é
L = integral1^3 l(tfrac32,y^2 + tfrac16,y^2r),dy
Calculando a integral:
integral tfrac32,y^2,dy = tfrac32,y^33 = tfracy^32,
integral tfrac16,y^-2,dy = tfrac16,l(-y^-1r) = -tfrac16,y
Logo,
L = l[tfracy^32 - tfrac16,yr]1^3 = l(tfrac272 - tfrac118r) - l(tfrac12 - tfrac16r) = 13 + tfrac19

Resposta

O comprimento do arco é tfrac1189

Exercícios relacionados