Derive as funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para derivar a função $ f(t) = \ln \left(t \sqrt{t^{2}-1}\right) $. Isso está dentro do estudo de cálculo diferencial, mais especificamente em derivadas de funções compostas e propriedades dos logaritmos. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação de funções logarítmicas e a regra do produto dentro do logaritmo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar a derivação. Lembrando que
, podemos separar o produto dentro do logaritmo:
Passo 3
Agora, vamos simplificar
. Sabemos que
. Aplicando isso:
Então, a função fica:
Passo 4
Agora, vamos derivar cada termo separadamente. A derivada de
em relação a
é
.
Para o segundo termo,
, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Passo 5
Derivando o segundo termo:
A derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 6
Agora, juntando as derivadas dos dois termos:
Resposta
Portanto, a derivada da função $ f(t) = \ln \left(t \sqrt{t^{2}-1}\right) $ é: