Derive as funções abaixo.
(f) f(t)=ln (t raizt^2-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para derivar a função $ f(t) = \ln \left(t \sqrt{t^{2}-1}\right) $. Isso está dentro do estudo de cálculo diferencial, mais especificamente em derivadas de funções compostas e propriedades dos logaritmos. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação de funções logarítmicas e a regra do produto dentro do logaritmo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar a derivação. Lembrando que ln(a cdot b) = ln a + ln b, podemos separar o produto dentro do logaritmo:
f(t) = ln(t) + ln(raizt^2-1)

Passo 3

Agora, vamos simplificar ln(raizt^2-1). Sabemos que ln(a^b) = b cdot ln a. Aplicando isso:
ln(raizt^2-1) = 12 ln(t^2-1)
Então, a função fica:
f(t) = ln t + 12 ln(t^2-1)

Passo 4

Agora, vamos derivar cada termo separadamente. A derivada de ln t em relação a t é 1t.
Para o segundo termo, 12 ln(t^2-1), aplicamos a regra da cadeia. A derivada de ln(u) em relação a u é 1u, e depois multiplicamos pela derivada de u em relação a t.

Passo 5

Derivando o segundo termo:
ddt ( 12 ln(t^2-1) ) = 12 cdot 1t^2-1 cdot ddt(t^2-1)
A derivada de t^2-1 em relação a t é 2t. Então:
12 cdot 1t^2-1 cdot 2t = tt^2-1

Passo 6

Agora, juntando as derivadas dos dois termos:
f'(t) = 1t + tt^2-1

Resposta

Portanto, a derivada da função $ f(t) = \ln \left(t \sqrt{t^{2}-1}\right) $ é:
f(t) = ln (t raizt^2-1)

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