Identifique cada cônica (como círculo, elipse, hipérbole ou parábola) e faça um esboço no plano cartesiano: y^2-4 x^2=4.

Passo 1

Vamos identificar e esboçar a cônica dada por y^2-4x^2=4. O conteúdo envolve classificação de seções cônicas (círculo, elipse, hipérbole, parábola) usando o discriminante e reescrever na forma padrão para traçar o gráfico.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma geral Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0. Aqui temos A=-4, B=0, C=1, D=E=0, F=-4. Usamos o discriminante das cônicas: De.

Passo 3

Calculamos o discriminante: De 0Quando De0, a cônica é uma hipérbole.

Passo 4

Para esboçar, colocamos em forma padrão. Dividindo ambos os lados por 4:
y^24 - x^2 = 1,onde vemos uma hipérbole com eixo transverso vertical. Assim, a^2=4 (logo a=2) e b^2=1 (logo b=1).

Passo 5

O centro está em (0,0). Os vértices são os pontos onde x=0 e y=pm a, ou seja (0,2) e (0,-2). As assíntotas da hipérbole na forma y^2a^2 - x^2b^2=1 são dadas por y=pmabx. Aqui:
y=pm2x

Passo 6

No esboço, desenhe o eixo x e y, marque os vértices (0,2) e (0,-2), trace as retas-guia y=2x e y=-2x, e desenhe os dois ramos da hipérbole abrindo-se para cima e para baixo.

Resposta

A cônica é uma hipérbole na forma padrão y^24-x^2=1, de centro em (0,0), com vértices em (0,2) e (0,-2) e assíntotas y=2x e y=-2x; seus ramos abrem-se para cima e para baixo.

Exercícios relacionados