Discuta a existência e a unicidade de soluções para o seguinte PVI:
x y^prime prime prime-y^prime prime & =0 y(x0)=y0, y^prime(x0)=y1, y^prime prime(x0) & =y2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de terceira ordem. A missão aqui é discutir se essa equação tem solução e se essa solução é única. Para isso, vamos usar conceitos de teoria das equações diferenciais, como existência e unicidade de soluções. Vamos precisar entender como reorganizar a equação e aplicar o teorema adequado para garantir que tudo funcione certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que temos:
x y^prime prime prime - y^prime prime = 0
Nossa meta é rearranjar essa equação para que ela fique na forma padrão de uma equação diferencial. Vamos dividir ambos os lados por $ x $ (supondo que $ x \neq 0 $) para simplificar:
x

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação de uma maneira que facilite a aplicação do teorema de existência e unicidade. Podemos colocar tudo em relação a $ y^{\prime \prime \prime} $:
y^prime prime prime
Essa forma mostra que a terceira derivada de $ y $ está expressa em termos da segunda derivada.

Passo 4

Para aplicar o teorema de existência e unicidade, precisamos que a equação esteja na forma de primeira ordem. Vamos então transformar a equação de terceira ordem em um sistema de equações de primeira ordem. Vamos definir:
  • $ y_1 = y $
  • $ y_2 = y^{\prime} $
  • $ y_3 = y^{\prime \prime} $
Assim, podemos reescrever o sistema como:
y1 = y

Passo 5

Agora que temos o sistema na forma de primeira ordem, vamos verificar as condições do teorema de existência e unicidade. Esse teorema geralmente requer que as funções no sistema sejam contínuas e que satisfaçam uma condição de Lipschitz.
No nosso sistema:
  • As funções são $ y_2 $, $ y_3 $ e $ \frac{1}{x} y_3 $.
  • Essas funções são contínuas em $ x $ no intervalo considerado, desde que $ x \neq 0 $.

Passo 6

Além disso, as funções são linearmente dependentes das variáveis $ y_1, y_2, y_3 $, o que satisfaz a condição de Lipschitz automaticamente (porque as derivadas são lineares).
Portanto, todas as condições do teorema de existência e unicidade estão atendidas em qualquer intervalo que não contenha $ x = 0 $.

Resposta

Então, concluímos que para o PVI dado, existe uma única solução que passa pelo ponto inicial $ (x_0, y_0, y_1, y_2) $, desde que $ x \neq 0 $. Ou seja, a solução é única e existe no intervalo onde $ x $ não é zero.

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