Discuta a existência e a unicidade de soluções para o seguinte PVI:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de terceira ordem. A missão aqui é discutir se essa equação tem solução e se essa solução é única. Para isso, vamos usar conceitos de teoria das equações diferenciais, como existência e unicidade de soluções. Vamos precisar entender como reorganizar a equação e aplicar o teorema adequado para garantir que tudo funcione certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que temos:
Nossa meta é rearranjar essa equação para que ela fique na forma padrão de uma equação diferencial. Vamos dividir ambos os lados por $ x $ (supondo que $ x \neq 0 $) para simplificar:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação de uma maneira que facilite a aplicação do teorema de existência e unicidade. Podemos colocar tudo em relação a $ y^{\prime \prime \prime} $:
Essa forma mostra que a terceira derivada de $ y $ está expressa em termos da segunda derivada.
Passo 4
Para aplicar o teorema de existência e unicidade, precisamos que a equação esteja na forma de primeira ordem. Vamos então transformar a equação de terceira ordem em um sistema de equações de primeira ordem. Vamos definir:
- $ y_1 = y $
- $ y_2 = y^{\prime} $
- $ y_3 = y^{\prime \prime} $
Assim, podemos reescrever o sistema como:
Passo 5
Agora que temos o sistema na forma de primeira ordem, vamos verificar as condições do teorema de existência e unicidade. Esse teorema geralmente requer que as funções no sistema sejam contínuas e que satisfaçam uma condição de Lipschitz.
No nosso sistema:
- As funções são $ y_2 $, $ y_3 $ e $ \frac{1}{x} y_3 $.
- Essas funções são contínuas em $ x $ no intervalo considerado, desde que $ x \neq 0 $.
Passo 6
Além disso, as funções são linearmente dependentes das variáveis $ y_1, y_2, y_3 $, o que satisfaz a condição de Lipschitz automaticamente (porque as derivadas são lineares).
Portanto, todas as condições do teorema de existência e unicidade estão atendidas em qualquer intervalo que não contenha $ x = 0 $.
Resposta
Então, concluímos que para o PVI dado, existe uma única solução que passa pelo ponto inicial $ (x_0, y_0, y_1, y_2) $, desde que $ x \neq 0 $. Ou seja, a solução é única e existe no intervalo onde $ x $ não é zero.