Um tanque cilíndrico esta cheio até a metade com gasolina cuja densidàde é
. Se o eixo do cilindro é horizontal e o diâmetro é de 6 m , encontre a força decorrente da pressão do liquido sobre um extremo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos um tanque cilíndrico que está meio cheio de gasolina, cuja densidade é
. O eixo do cilindro está na horizontal e o diâmetro do cilindro é de 6 metros. Precisamos encontrar a força resultante da pressão da gasolina em um dos extremos do tanque. Para resolver isso, vamos trabalhar com conceitos de estática dos fluidos, especificamente a pressão exercida por um líquido em superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a pressão (
) em um ponto dentro de um líquido é dada pela fórmula:
onde:
-
é a densidade do líquido, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a profundidade no ponto considerado.
Neste caso, a profundidade varia ao longo do extremo do tanque, então precisamos considerar como a pressão muda em cada ponto desse extremo.
Passo 3
Como o tanque está meio cheio e o eixo está na horizontal, a superfície da gasolina forma um semicírculo no extremo do tanque. Vamos imaginar que o centro desse semicírculo está no nível da superfície da gasolina.
Para calcular a força total, precisamos integrar a pressão sobre toda a área do extremo. Primeiro, vamos expressar a profundidade
em termos das coordenadas do semicírculo.
Passo 4
Vamos escolher um sistema de coordenadas onde o eixo horizontal passa pelo centro do semicírculo e o eixo vertical passa pela parte mais baixa do tanque. Um ponto qualquer na superfície pode ser representado por
, onde
representa a profundidade.
A equação do semicírculo é:
onde
é o raio do cilindro. Como o diâmetro é 6 m, o raio
é 3 m.
Então, a profundidade
em termos de
é simplesmente
, já que o ponto mais baixo está a uma profundidade de
.
Passo 5
A força diferencial
sobre um elemento de área
é dada por:
Para integrar sobre o semicírculo, podemos expressar
em coordenadas polares:
Mas como estamos considerando um semicírculo fixo, podemos simplificar a integração utilizando a simetria do problema.
Passo 6
Devido à simetria, podemos calcular a força total como duas vezes a força em um quarto do semicírculo. No entanto, para simplificar, vamos considerar a força sobre toda a área do semicírculo diretamente.
A força total
será:
Substituindo
, de acordo com a posição no semicírculo.
Passo 7
Integrando a expressão acima:
Passo 8
Agora, substituindo os valores conhecidos:
Resposta
Calculando os valores:
Portanto, a força decorrente da pressão da gasolina sobre um extremo do tanque é aproximadamente
.