Um tanque cilíndrico esta cheio até a metade com gasolina cuja densidàde é 721 kg / m^3. Se o eixo do cilindro é horizontal e o diâmetro é de 6 m , encontre a força decorrente da pressão do liquido sobre um extremo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos um tanque cilíndrico que está meio cheio de gasolina, cuja densidade é 721 kg/m^3. O eixo do cilindro está na horizontal e o diâmetro do cilindro é de 6 metros. Precisamos encontrar a força resultante da pressão da gasolina em um dos extremos do tanque. Para resolver isso, vamos trabalhar com conceitos de estática dos fluidos, especificamente a pressão exercida por um líquido em superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a pressão ( P) em um ponto dentro de um líquido é dada pela fórmula:
P = rho cdot g cdot h
onde:
  • rho é a densidade do líquido,
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81 m/s^2),
  • h é a profundidade no ponto considerado.
Neste caso, a profundidade varia ao longo do extremo do tanque, então precisamos considerar como a pressão muda em cada ponto desse extremo.

Passo 3

Como o tanque está meio cheio e o eixo está na horizontal, a superfície da gasolina forma um semicírculo no extremo do tanque. Vamos imaginar que o centro desse semicírculo está no nível da superfície da gasolina.
Para calcular a força total, precisamos integrar a pressão sobre toda a área do extremo. Primeiro, vamos expressar a profundidade h em termos das coordenadas do semicírculo.

Passo 4

Vamos escolher um sistema de coordenadas onde o eixo horizontal passa pelo centro do semicírculo e o eixo vertical passa pela parte mais baixa do tanque. Um ponto qualquer na superfície pode ser representado por (x, y), onde y representa a profundidade.
A equação do semicírculo é:
x^2 + y^2 = r^2
onde r é o raio do cilindro. Como o diâmetro é 6 m, o raio r é 3 m.
Então, a profundidade h em termos de y é simplesmente h = y + r, já que o ponto mais baixo está a uma profundidade de 2r.

Passo 5

A força diferencial dF sobre um elemento de área dA é dada por:
dF = P cdot dA = rho cdot g cdot h cdot dA
Para integrar sobre o semicírculo, podemos expressar dA em coordenadas polares:
dA = r cdot dtheta cdot dr
Mas como estamos considerando um semicírculo fixo, podemos simplificar a integração utilizando a simetria do problema.

Passo 6

Devido à simetria, podemos calcular a força total como duas vezes a força em um quarto do semicírculo. No entanto, para simplificar, vamos considerar a força sobre toda a área do semicírculo diretamente.
A força total F será:
F = integral0^2pi rho cdot g cdot h cdot r cdot dtheta
Substituindo h = r(1 - sintheta), de acordo com a posição no semicírculo.

Passo 7

Integrando a expressão acima:
F = rho cdot g cdot r integral0^2pi (1 - sintheta) cdot r cdot dtheta
F = rho cdot g cdot r^2 [ integral0^2pi dtheta - integral0^2pi sintheta , dtheta ]
F = rho cdot g cdot r^2 [ 2pi - 0 ] = 2pi rho g r^2

Passo 8

Agora, substituindo os valores conhecidos:
  • rho = 721 kg/m^3
  • g = 9,81 m/s^2
  • r = 3 m
F = 2pi cdot 721 cdot 9,81 cdot 3^2
F = 2pi cdot 721 cdot 9,81 cdot 9
F = 2pi cdot 721 cdot 88,29
F approx 2 cdot 3,1416 cdot 721 cdot 88,29
F approx 6,2832 cdot 721 cdot 88,29

Resposta

Calculando os valores:
F approx 6,2832 cdot 721 cdot 88,29 approx 399,000 N
Portanto, a força decorrente da pressão da gasolina sobre um extremo do tanque é aproximadamente 399,000 N.

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