Derive as funções abaixo:
f(x)=x^x^x

Passo 1

Estamos pedindo a derivada da função
f(x)=x^,x^x
O conteúdo aqui é diferenciação de potência onde tanto a base quanto o expoente dependem de x. Vamos usar logaritmo e regra da cadeia para resolver.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^x,
de modo que
f(x)=x^u(x)
Para facilitar a derivação, aplicamos logaritmo natural em f:
ln f(x)=lnl(x^u(x)r)=u(x),ln x

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, pela regra da cadeia,
f'(x)f(x)
No lado direito, usamos produto u(x)cdotln x:
ddxl[u(x)ln xr]=u'(x),ln x + u(x),1x
Logo,
f'(x)f(x)=u'(x),ln x + u(x)x

Passo 4

Falta calcular u'(x) para u(x)=x^x. Novamente usamos log-diferen-cia-ção:
ln u(x)=xln x
implica
u'(x)u(x)=ln x +1,
ou seja
u'(x)=x^xl(ln x +1r)

Passo 5

Substituímos u(x) e u'(x) na expressão de f'f:
f'(x)f(x) = x^x(ln x+1),ln x + x^xx = x^x(ln x+1)ln x + x^,x-1
Multiplicando por f(x)=x^x^x, obtemos a derivada final.

Resposta

f'(x) = x^,x^xl[x^x(ln x+1)ln x + x^,x-1r]

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