Derive as funções abaixo:
f(x)=x^x cos x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^xcos x
O conteúdo envolvido é a regra do produto e a derivada da função x^x, que obtém-se escrevendo x^x=e^xln x.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^x
e vamos calcular u'(x). Como
u(x)=e^xln x,
pela regra da cadeia temos
u'(x)=e^xln xcdotddxl(xln xr)
E
ddxl(xln xr)=1cdotln x + xcdot1x=ln x+1
Logo
u'(x)=x^x(ln x+1)

Passo 3

Definimos
v(x)=cos x
e calculamos
v'(x)=-sin x

Passo 4

Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Substituindo u, u', v e v', fica
f'(x)=x^x(ln x+1)cos x ;+; x^xl(-sin xr)

Passo 5

Fatorando x^x, obtemos
f'(x)=x^xl((ln x+1)cos x - sin xr)

Resposta

f'(x)=x^xl((ln x+1)cos x - sin xr)

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