Determine os limites a seguir, caso existam.
(i) lim x 2 x^2x-2
(ii) lim t +infty 3 t^4-7 t^2+22 t^4+1
(iii) lim x 7 -2(x-7)^2
(iv) lim x -infty raizx^2-x+2 x
(v) lim t +infty 8 traiz[4]3 t^4+5
(vi) lim x +infty raizx+1x+3
(vii) lim x -infty(x1+x)^x
(viii) lim x +infty(1+27 x)^x
(ix) lim x +infty raiz[3](1+27 x)^x
(x) lim x 0^+(1+3 x)^1x
(xi) lim x 0(1+4 x)^12 x
(xii) lim x +infty[x cdot ln (x+2x)]

Passo 1

O enunciado pede para calcular uma coleção de limites envolvendo frações de polinômios, comportamentos em ±∞, expressões com raiz e potências exponenciais que geram formas indeterminadas. Vamos usar três ideias principais:
  1. comparação de termos dominantes em polinômios para limites em ±∞;
  2. expansão ou fatoração em expressões com raiz (por exemplo, raizx^2-x) para achar o termo principal;
  3. reescrever potências na forma expl(ln(cdot)r) e usar série de Taylor de ln(1+u) quando uto0.

Passo 2

Para limxto2x^2x-2 notamos que no numerador x^2to4 e no denominador x-2to0. Pela direita x-2>0 +infty e pela esquerda x-2<0 -infty. Como as duas infinitudes são diferentes, o limite não existe.

Passo 3

Para limtto+infty3t^4-7t^2+22t^4+1 comparamos os coeficientes dos termos de maior grau ( t^4). Logo
limtto+infty3t^4-7t^2+22t^4+1 =32

Passo 4

Para limxto7-2(x-7)^2 o quadrado (x-7)^2 é sempre positivo e tende a zero, então -2/(x-7)^2to -infty.

Passo 5

Para limxto-inftyl(raizx^2-x+2xr) escrevemos
raizx^2-x =|x|raiz1-1x =-,xraiz1-1x approx -xl(1-12xr) =-x+tfrac12+o(1)
Então
raizx^2-x+2x approx(-x+tfrac12)+2x =x+tfrac12to -infty

Passo 6

Para limtto+infty8traiz[4]3t^4+5 fatoramos t dentro da raiz:
raiz[4]3t^4+5 =traiz[4]3+5/t^4 sim tcdot3^1/4
Logo o quociente tende a
8ttcdot3^1/4 =83^1/4

Passo 7

Para limxto+inftyraizx+1x+3 note que raizx=o(x), então
raizx+1x+3 simraizxx =1raizx to0

Passo 8

Para limxto-inftyl(x1+xr)^x defina
L=limxto-inftyl(tfracx1+xr)^x =expl(limxto-inftyxlnl(tfracx1+xr)r)
Escrevendo tfracx1+x=1-tfrac11+x=1-tfrac1x+o(1/x) e usando ln(1+u)approx u para uto0, vem
xlnl(tfracx1+xr) approx xl(-tfrac1xr) =-1,
portanto L=e^-1.

Passo 9

Para limxto+inftyl(1+27xr)^x usamos o mesmo truque:
expl(xln(1+tfrac27x)r) approxexpl(xcdottfrac27xr) =expl(tfrac27r)

Passo 10

Para limxto+inftyraiz[3]l(1+27xr)^x basta extrair a raiz cúbica do resultado do passo anterior:
l(e^2/7r)^1/3 =e^2/21

Passo 11

Para limxto0^+(1+3x)^1/x escrevemos
expl(tfrac1xln(1+3x)r) approxexpl(tfrac1xcdot3xr) =exp(3) =e^3

Passo 12

Para limxto0(1+4x)^1/(2x) de forma análoga:
expl(tfrac12xln(1+4x)r) approxexpl(tfrac12xcdot4xr) =exp(2) =e^2

Passo 13

Para limxto+inftyl[xcdotlnl(tfracx+2xr)r] usamos
lnl(tfracx+2xr) =lnl(1+tfrac2xr) approxtfrac2x,
então
xcdotlnl(tfracx+2xr) approx xcdottfrac2x =2

Resposta

(i) não existe
(ii) tfrac32
(iii) -infty
(iv) -infty
(v) tfrac83^1/4
(vi) 0
(vii) e^-1
(viii) e^2/7
(ix) e^2/21
(x) e^3
(xi) e^2
(xii) 2

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