Determine os limites a seguir, caso existam.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(ix)
(x)
(xi)
(xii)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(ix)
(x)
(xi)
(xii)
Passo 1
O enunciado pede para calcular uma coleção de limites envolvendo frações de polinômios, comportamentos em ±∞, expressões com raiz e potências exponenciais que geram formas indeterminadas. Vamos usar três ideias principais:
- comparação de termos dominantes em polinômios para limites em ±∞;
- expansão ou fatoração em expressões com raiz (por exemplo,
) para achar o termo principal; - reescrever potências na forma
e usar série de Taylor de quando .
Passo 2
Para
notamos que no numerador
e no denominador
. Pela direita
dá
e pela esquerda
dá
. Como as duas infinitudes são diferentes, o limite não existe.
Passo 3
Para
comparamos os coeficientes dos termos de maior grau (
). Logo
Passo 4
Para
o quadrado
é sempre positivo e tende a zero, então
.
Passo 5
Para
escrevemos
Então
Passo 6
Para
fatoramos
dentro da raiz:
Logo o quociente tende a
Passo 7
Para
note que
, então
Passo 8
Para
defina
Escrevendo
e usando
para
, vem
portanto
.
Passo 9
Para
usamos o mesmo truque:
Passo 10
Para
basta extrair a raiz cúbica do resultado do passo anterior:
Passo 11
Para
escrevemos
Passo 12
Para
de forma análoga:
Passo 13
Para
usamos
então
Resposta
(i) não existe
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(ix)
(x)
(xi)
(xii)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(ix)
(x)
(xi)
(xii)