(a) Encontre a inclinação da reta tangente à parábola y=x^2+3 x no ponto (-1,-2)
(i) usando a Defínição 1. (ii) usando a Equação 2.
(b) Encontre a equação da reta tangente da parte (a).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^2+3x e pede:
  1. A inclinação da reta tangente em (-1,-2)
    (i) usando a definição de derivada;
    (ii) usando a fórmula f'(x)=2x+3.
  2. A equação da reta tangente encontrada.

Passo 2

Usando a definição, a derivada em x0=-1 é
m=limhto0f(-1+h)-f(-1)h
Calculamos
f(-1+h)=(-1+h)^2+3(-1+h)=1-2h+h^2-3+3h=-2+h+h^2,
f(-1)=-2,
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f(-1+h)-f(-1)h =(-2+h+h^2)-(-2)h =h+h^2h =1+h
Fazendo hto0
m=limhto0(1+h)=1

Passo 3

Pela fórmula f'(x)=2x+3, em x=-1 vem
m=f'(-1)=2(-1)+3=1

Passo 4

Com a inclinação m=1 e ponto (x0,y0)=(-1,-2), a reta tangente é
y - (-2)=1,(x - (-1)) Longrightarrow y+2=x+1 Longrightarrow y=x-1

Resposta

(a)(i) m=1
(a)(ii) m=1
(b) y=x-1

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