Derive as funções abaixo:
f(x)=cos (arcsen(x))-sen(arccos (x)).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida como:
Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas e suas inversas, especificamente o cosseno da arcseno de f(x) = cos(arcsen(x)) - sin(arccos(x)) e o seno da arccoseno de x. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as funções trigonométricas inversas e suas relações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o ângulo cuja seno é arcsen(x). Ou seja, se , então:
x
Sabemos também que, para qualquer ângulo theta = arcsen(x):
sin(theta) = x
Então, podemos achar o cosseno desse ângulo:
theta
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos analisar o segundo termo: sin(arccos(x)). De forma similar, se phi = arccos(x), então:
cos(phi) = x
E usando a identidade trigonométrica novamente:
sin(phi) = raiz1 - cos^2(phi) = raiz1 - x^2
Então:
sin(arccos(x)) = raiz1 - x^2

Passo 4

Agora que temos as expressões dos dois termos, vamos substituir de volta na função original:

Passo 5

Simplificando a expressão:
f(x) = raiz1 - x^2 - raiz1 - x^2 = 0

Resposta

A função f(x) simplifica para:
f(x) = 0

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