Utilize a regra de LHopital para resolver os limites abaixo.
lim x 0 ln (1+x)-ln (1-x)2 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos o limite lim x 0 ln (1+x)-ln (1-x)2 x usando a regra de L’Hôpital. Para isso, precisamos entender que estamos lidando com limites que envolvem funções logarítmicas e que, quando encontramos uma forma indeterminada como 00, a regra de L’Hôpital é uma ótima ferramenta. Vamos precisar conhecer derivadas básicas das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos aplicar a regra de L’Hôpital. Substituindo x = 0 na expressão:
ln(1+0) - ln(1-0)2 times 0 = 0 - 00 = 00
Como obtemos uma forma indeterminada 00, podemos usar a regra de L’Hôpital, que nos diz para derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a x.
  • Derivada do numerador ln(1+x) - ln(1-x):
ddx [ln(1+x) - ln(1-x)] = 11+x - (-11 - x) = 11+x + 11 - x
  • Derivada do denominador 2x:
ddx [2x] = 2

Passo 4

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
limx 0 11+x + 11 - x2

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro do limite substituindo x = 0:
11+0 + 11 - 02 = 1 + 12 = 22 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

Exercícios relacionados