Utilize a regra de LHopital para resolver os limites abaixo.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos o limite
usando a regra de L’Hôpital. Para isso, precisamos entender que estamos lidando com limites que envolvem funções logarítmicas e que, quando encontramos uma forma indeterminada como
, a regra de L’Hôpital é uma ótima ferramenta. Vamos precisar conhecer derivadas básicas das funções envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se podemos aplicar a regra de L’Hôpital. Substituindo
na expressão:
Como obtemos uma forma indeterminada
, podemos usar a regra de L’Hôpital, que nos diz para derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 3
Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a
.
- Derivada do numerador
:
- Derivada do denominador
:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro do limite substituindo
:
Resposta
O limite é igual a
.