Derive as funções abaixo:
f(x)=x^sen 3 x

Passo 1

Resumindo, queremos a derivada de f(x)=x^sin(3x). Como tanto a base x quanto o expoente sin(3x) variam com x, vamos usar derivação logarítmica, além da regra do produto e da regra da cadeia. Note que para aplicar ln x precisamos de x>0.

Passo 2

Defina y=f(x). Tomando o logaritmo natural de ambos os lados, obtemos
ln y = sin(3x),ln x

Passo 3

Derivando implicitamente em x, surge
y'y = ddxl[sin(3x),ln xr] = (sin(3x))',ln x + sin(3x),(ln x)'
Como
(sin(3x))' = 3cos(3x), (ln x)' = 1x,
temos
y'y = 3cos(3x),ln x + sin(3x)x

Passo 4

Isolando y' = f'(x) e lembrando que y = x^sin(3x), resulta
f'(x) = yl(3cos(3x),ln x + sin(3x)xr) = x^sin(3x)l(3cos(3x),ln x + sin(3x)xr)

Resposta

f'(x) = x^sin(3x)l(3cos(3x),ln x + sin(3x)xr)

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