Derive as funções abaixo:
f(x)=\frac{x \ln (x)}{\operatorname{tg}(x)}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada de f(x)=\dfrac{x\ln(x)}{\operatorname{tg}(x)}.
Informações e restrições dadas pelo enunciado (importantes para domínio e validade das derivadas):
  • A função envolve \ln(x), portanto é necessário x>0.
  • A função envolve \operatorname{tg}(x)=\tan(x), que não está definida quando \cos(x)=0, isto é, x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi para k\in\mathbb{Z}.
  • Logo o domínio natural para diferenciar é x>0 com x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi.
O que vamos encontrar: uma expressão para f'(x) válida para x no domínio acima.

Passo 2

Escolha do método: é conveniente reescrever a função como produto em vez de aplicar diretamente a regra do quociente. Observação:
f(x)=\frac{x\ln(x)}{\tan(x)} = \bigl(x\ln(x)\bigr)\cdot\cot(x),
onde \cot(x)=\dfrac{1}{\tan(x)}.
Motivo da escolha: a derivada de x\ln(x) é simples (regra do produto elementar) e a derivada de \cot(x) é uma derivada trigonométrica padrão. Assim usaremos a regra do produto, que é pouco trabalhosa aqui.

Passo 3

Lembrete das regras que vamos usar (com explicação curta e intuitiva):
  • Regra do produto: se g(x)=u(x)\cdot v(x), então
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Isto significa: derivar um fator, multiplicar pelo outro; somar o termo onde se deriva o outro fator.
  • Derivada do logaritmo natural: para h(x)=\ln(x) (com x>0),
h'(x)=\frac{1}{x}.
  • Derivada da função identidade: (x)'=1.
  • Derivada de \cot(x): vamos deduzi-la rapidamente no próximo passo.

Passo 4

Calcular a derivada de u(x)=x\ln(x) (regra do produto simples):
  • Aplicando a regra do produto com a(x)=x e b(x)=\ln(x):
a'(x)=1,\qquad b'(x)=\frac{1}{x}.
  • Logo
u'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x)=1\cdot\ln(x)+x\cdot\frac{1}{x}=\ln(x)+1.
Comentário: a derivada de x\ln(x) é \ln(x)+1. Isso é uma identidade muito útil e frequente em provas.

Passo 5

Derivar v(x)=\cot(x). Justificativa curta da fórmula:
  • \cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}. Aplicando a regra do quociente:
v'(x)=\frac{\cos'(x)\sin(x)-\cos(x)\sin'(x)}{\sin^2(x)} =\frac{(-\sin x)\sin x - \cos x\cos x}{\sin^2 x} =\frac{-(\sin^2 x+\cos^2 x)}{\sin^2 x}.
  • Como \sin^2 x+\cos^2 x=1,
v'(x)=-\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x.
Resumo: \dfrac{d}{dx}\cot(x)=-\csc^2(x)=-\dfrac{1}{\sin^2(x)}.

Passo 6

Aplicar a regra do produto a f(x)=u(x)\,v(x) com u(x)=x\ln(x) e v(x)=\cot(x):
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u'(x)=\ln(x)+1 e v'(x)=-\csc^2 x, obtemos
f'(x)=(\ln(x)+1)\,\cot(x) + (x\ln(x))\bigl(-\csc^2 x\bigr).
Ou seja
f'(x)=(\ln(x)+1)\cot(x) - x\ln(x)\,\csc^2(x).
Esta já é uma forma correta e legível da derivada.

Passo 7

Opcional: simplificar para uma única fração usando \cot(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x} e \csc^2(x)=\dfrac{1}{\sin^2 x}. Fazendo isso:
f'(x)=(\ln(x)+1)\frac{\cos x}{\sin x} - x\ln(x)\frac{1}{\sin^2 x}.
Colocando sobre o denominador comum \sin^2 x:
f'(x)=\frac{(\ln(x)+1)\cos x\sin x - x\ln(x)}{\sin^2 x}.
Se quiser, pode reescrever o numerador factorando \ln(x), mas a forma acima já é clara e compacta.

Passo 8

Resumo e observação final sobre domínio: as expressões obtidas são válidas para x>0 e x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi ( k\in\mathbb{Z}), que é o domínio onde f está definida e diferenciável.

Resposta

f'(x)=(\ln(x)+1)\cot(x) - x\ln(x)\,\csc^2(x)
ou, equivalentemente,
f'(x)=\frac{(\ln(x)+1)\cos x\sin x - x\ln(x)}{\sin^2 x}.

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