Derive as funções abaixo:
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada de
.
Informações e restrições dadas pelo enunciado (importantes para domínio e validade das derivadas):
- A função envolve
, portanto é necessário . - A função envolve
, que não está definida quando , isto é, para . - Logo o domínio natural para diferenciar é
com .
O que vamos encontrar: uma expressão para
válida para
no domínio acima.
Passo 2
Escolha do método: é conveniente reescrever a função como produto em vez de aplicar diretamente a regra do quociente. Observação:
onde
.
Motivo da escolha: a derivada de
é simples (regra do produto elementar) e a derivada de
é uma derivada trigonométrica padrão. Assim usaremos a regra do produto, que é pouco trabalhosa aqui.
Passo 3
Lembrete das regras que vamos usar (com explicação curta e intuitiva):
- Regra do produto: se
, então
Isto significa: derivar um fator, multiplicar pelo outro; somar o termo onde se deriva o outro fator.
- Derivada do logaritmo natural: para
(com ),
- Derivada da função identidade:
. - Derivada de
: vamos deduzi-la rapidamente no próximo passo.
Passo 4
Calcular a derivada de
(regra do produto simples):
- Aplicando a regra do produto com
e :
- Logo
Comentário: a derivada de
é
. Isso é uma identidade muito útil e frequente em provas.
Passo 5
Derivar
. Justificativa curta da fórmula:
-
. Aplicando a regra do quociente:
- Como
,
Resumo:
.
Passo 6
Aplicar a regra do produto a
com
e
:
Substituindo
e
, obtemos
Ou seja
Esta já é uma forma correta e legível da derivada.
Passo 7
Opcional: simplificar para uma única fração usando
e
. Fazendo isso:
Colocando sobre o denominador comum
:
Se quiser, pode reescrever o numerador factorando
, mas a forma acima já é clara e compacta.
Passo 8
Resumo e observação final sobre domínio: as expressões obtidas são válidas para
e
(
), que é o domínio onde
está definida e diferenciável.
Resposta
ou, equivalentemente,