- Para quaisquer vetores
e
em
.
Passo 1
O enunciado dá duas informações e pede uma conclusão clara:
- Dados: quaisquer vetores
e em . - Pedido: mostrar que
.
Passo 2
Vou lembrar duas definições básicas e úteis (aqui ensino o que cada operação significa):
- Produto escalar (dot product): para
e ,
Isto é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
- Produto vetorial (cross product): para
e ,
Geometricamente,
é um vetor perpendicular a
e a
; algebraicamente, isso aparece nas componentes acima.
Passo 3
Agora faço a prova direta em componentes. Escrevo
Então
Faço o produto escalar desse resultado com
:
Passo 4
Agora desenvolvo e agrupo os termos para ver as cancelas:
Observe que cada termo aparece com outro termo igual e de sinal contrário:
-
cancela com ; -
cancela com ; -
cancela com .
Portanto, somando tudo,
Passo 5
Explico didaticamente a ideia por trás desse cancelamento (intuição):
- O produto vetorial foi construído de forma que seja orthogonal a
. Se um vetor é perpendicular a , seu produto escalar com tem que ser zero, porque o produto escalar mede “quanto de um vetor vai na direção do outro”. - Outra maneira curta de ver isso é usar o produto misto (scalar triple product):
é a determinante das colunas ; como há duas colunas iguais, a determinante é zero.
Passo 6
Um exemplo numérico rápido só para fixar: tome
e
.
e
Confere com o resultado geral.