1. Para quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em V_{3},(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{u}=0.

Passo 1

O enunciado dá duas informações e pede uma conclusão clara:
  • Dados: quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em V_{3}.
  • Pedido: mostrar que (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{u}=0.

Passo 2

Vou lembrar duas definições básicas e úteis (aqui ensino o que cada operação significa):
  • Produto escalar (dot product): para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3),
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
Isto é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
  • Produto vetorial (cross product): para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3),
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\bigl(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\bigr).
Geometricamente, \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor perpendicular a \mathbf{a} e a \mathbf{b}; algebraicamente, isso aparece nas componentes acima.

Passo 3

Agora faço a prova direta em componentes. Escrevo
\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3),\qquad \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3).
Então
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\bigl(u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1\bigr).
Faço o produto escalar desse resultado com \mathbf{u}:
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{u} = u_1(u_2 v_3 - u_3 v_2) + u_2(u_3 v_1 - u_1 v_3) + u_3(u_1 v_2 - u_2 v_1).

Passo 4

Agora desenvolvo e agrupo os termos para ver as cancelas:
\begin{aligned} (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{u} &= u_1 u_2 v_3 - u_1 u_3 v_2 + u_2 u_3 v_1 - u_2 u_1 v_3 + u_3 u_1 v_2 - u_3 u_2 v_1. \end{aligned}
Observe que cada termo aparece com outro termo igual e de sinal contrário:
  • u_1 u_2 v_3 cancela com -u_2 u_1 v_3;
  • -u_1 u_3 v_2 cancela com u_3 u_1 v_2;
  • u_2 u_3 v_1 cancela com -u_3 u_2 v_1.
Portanto, somando tudo,
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{u}=0.

Passo 5

Explico didaticamente a ideia por trás desse cancelamento (intuição):
  • O produto vetorial foi construído de forma que seja orthogonal a \mathbf{u}. Se um vetor é perpendicular a \mathbf{u}, seu produto escalar com \mathbf{u} tem que ser zero, porque o produto escalar mede “quanto de um vetor vai na direção do outro”.
  • Outra maneira curta de ver isso é usar o produto misto (scalar triple product): (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{u} é a determinante das colunas \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{u}; como há duas colunas iguais, a determinante é zero.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido só para fixar: tome \mathbf{u}=(1,2,3) e \mathbf{v}=(4,5,6).
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=(-3,6,-3),
e
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{u}=(-3)\cdot1 + 6\cdot2 + (-3)\cdot3 = -3+12-9=0.
Confere com o resultado geral.

Resposta

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