Determine as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos (1,0,-1) e é paralela à reta \frac{1}{3}(x-4)=\frac{1}{2} y=z+2

Passo 1

O enunciado pede: determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto (1,0,-1) e é paralela à reta dada por \frac{1}{3}(x-4)=\frac{1}{2} y=z+2.
Informações fornecidas:
  • Ponto por onde a reta deve passar: \,(1,0,-1).
  • Uma reta à qual a nossa reta deve ser paralela, expressa por \frac{1}{3}(x-4)=\frac{1}{2} y=z+2.
  • Pedido: escrever as equações paramétricas da reta procurada (ou seja, x(t),y(t),z(t) em função de um parâmetro).

Passo 2

O que são equações paramétricas de uma reta e como elas funcionam (explicação didática).
  • Se uma reta passa por um ponto (x_0,y_0,z_0) e tem vetor diretor v=(a,b,c), então um ponto genérico da reta pode ser obtido movendo-se a partir do ponto inicial na direção de v por uma quantidade proporcional ao parâmetro t. Essa ideia é escrita na forma vetorial
\vec r(t)=\vec r_0+t\,\vec v,
onde \vec r_0 é o vetor posição do ponto (x_0,y_0,z_0) e t é o parâmetro real. Em coordenadas isso vira as equações paramétricas
x = x_0 + a\,t,\qquad y = y_0 + b\,t,\qquad z = z_0 + c\,t.
  • Aqui: \vec r_0=(x_0,y_0,z_0) é o ponto dado, \vec v=(a,b,c) é o vetor diretor da reta (a “seta” que indica a direção), e t\in\mathbb{R} percorre a reta. Nas provas, basta identificar \vec r_0 e \vec v e aplicar essa fórmula.

Passo 3

Como extrair o vetor diretor da reta dada \frac{1}{3}(x-4)=\frac{1}{2} y=z+2.
  • Interpretando a igualdade encadeada, entendemos que
\frac{x-4}{3}=\frac{y}{2}=z+2.
  • Seja \tau o parâmetro comum: \tau=\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y}{2}=z+2.
  • Resolvendo para x,y,z em função de \tau obtemos
x=3\tau+4,\qquad y=2\tau,\qquad z=\tau-2.
  • As coeficientes de \tau formam o vetor diretor da reta dada:
\vec v=(3,2,1).
Isso significa que a reta dada tem direção (3,2,1). (O termo constante (4,0,-2) corresponde a um ponto da reta; não é necessário aqui.)

Passo 4

Reta paralela tem o mesmo vetor diretor.
  • Duas retas são paralelas se os seus vetores diretores são múltiplos escalares um do outro. Como a nossa reta deve ser paralela à reta dada, ela terá o mesmo vetor diretor \vec v=(3,2,1) (pode-se também usar qualquer múltiplo de \vec v, por exemplo (6,4,2), mas usar (3,2,1) é mais simples).

Passo 5

Aplicar a fórmula ponto-direção com o ponto dado (1,0,-1) e o vetor diretor \vec v=(3,2,1).
  • Usando \vec r_0=(1,0,-1) e \vec v=(3,2,1), as equações paramétricas são
x = 1 + 3t,\qquad y = 0 + 2t,\qquad z = -1 + 1t.
  • Simplificando:
x = 1 + 3t,\qquad y = 2t,\qquad z = -1 + t,
onde t\in\mathbb{R} é o parâmetro.

Passo 6

Pequena verificação rápida (sanidade):
  • O vetor diretor obtido a partir das equações finais é (3,2,1), igual ao vetor diretor da reta dada, logo as retas são paralelas.
  • Quando t=0 retorna o ponto (1,0,-1), que é o ponto pedido por onde a reta passa. Portanto está consistente.

Resposta

x = 1 + 3t
y = 2t
z = -1 + t

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