Determine as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos
e é paralela à reta
Passo 1
O enunciado pede: determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto
e é paralela à reta dada por
.
Informações fornecidas:
- Ponto por onde a reta deve passar:
. - Uma reta à qual a nossa reta deve ser paralela, expressa por
. - Pedido: escrever as equações paramétricas da reta procurada (ou seja,
em função de um parâmetro).
Passo 2
O que são equações paramétricas de uma reta e como elas funcionam (explicação didática).
- Se uma reta passa por um ponto
e tem vetor diretor , então um ponto genérico da reta pode ser obtido movendo-se a partir do ponto inicial na direção de por uma quantidade proporcional ao parâmetro . Essa ideia é escrita na forma vetorial
onde
é o vetor posição do ponto
e
é o parâmetro real. Em coordenadas isso vira as equações paramétricas
- Aqui:
é o ponto dado, é o vetor diretor da reta (a “seta” que indica a direção), e percorre a reta. Nas provas, basta identificar e e aplicar essa fórmula.
Passo 3
Como extrair o vetor diretor da reta dada
.
- Interpretando a igualdade encadeada, entendemos que
- Seja
o parâmetro comum: . - Resolvendo para
em função de obtemos
- As coeficientes de
formam o vetor diretor da reta dada:
Isso significa que a reta dada tem direção
. (O termo constante
corresponde a um ponto da reta; não é necessário aqui.)
Passo 4
Reta paralela tem o mesmo vetor diretor.
- Duas retas são paralelas se os seus vetores diretores são múltiplos escalares um do outro. Como a nossa reta deve ser paralela à reta dada, ela terá o mesmo vetor diretor
(pode-se também usar qualquer múltiplo de , por exemplo , mas usar é mais simples).
Passo 5
Aplicar a fórmula ponto-direção com o ponto dado
e o vetor diretor
.
- Usando
e , as equações paramétricas são
- Simplificando:
onde
é o parâmetro.
Passo 6
Pequena verificação rápida (sanidade):
- O vetor diretor obtido a partir das equações finais é
, igual ao vetor diretor da reta dada, logo as retas são paralelas. - Quando
retorna o ponto , que é o ponto pedido por onde a reta passa. Portanto está consistente.