Derive as funções abaixo.
f(x)=x^{\ln (x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^{\ln(x)}.
O conteúdo é a diferenciação de uma função cuja base e expoente dependem de x. Para resolver, vamos usar diferenciação logarítmica, que simplifica quando há variável no expoente e na base.

Passo 2

Definimos y=f(x) e aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
\ln y = \ln\bigl(x^{\ln x}\bigr) = (\ln x)\cdot(\ln x) = (\ln x)^2.

Passo 3

Diferenciamos ambos os lados em relação a x.
No lado esquerdo,
\frac{d}{dx}[\ln y] = \frac{y'}{y}.
No lado direito,
\frac{d}{dx}\bigl[(\ln x)^2\bigr] = 2\,(\ln x)\,\frac{1}{x}.
Logo,
\frac{y'}{y} = \frac{2\,\ln x}{x}.

Passo 4

Isolamos y' e retornamos para f(x):
y' = y \,\frac{2\,\ln x}{x}.
Como y = x^{\ln x}, obtemos
f'(x) = x^{\ln x}\,\frac{2\,\ln x}{x} = 2\,\ln(x)\,x^{\ln(x)-1}.

Resposta

f'(x) = 2\,\ln(x)\,x^{\ln(x)-1}.

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