Derive as funções abaixo.
f(x)=x^{\ln (x)}
f(x)=x^{\ln (x)}
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
.
O conteúdo é a diferenciação de uma função cuja base e expoente dependem de . Para resolver, vamos usar diferenciação logarítmica, que simplifica quando há variável no expoente e na base.
O conteúdo é a diferenciação de uma função cuja base e expoente dependem de
Passo 2
Definimos
e aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 3
Diferenciamos ambos os lados em relação a
.
No lado esquerdo,
No lado esquerdo,
No lado direito,
Logo,
Passo 4
Isolamos
e retornamos para
:
Como
, obtemos