Derive as funções abaixo.
f(x)=\ln \left(\sqrt{3 x^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\ln\bigl(\sqrt{3x^{2}+1}\bigr).
Aqui vamos usar propriedades de logaritmo e a regra da cadeia para derivar.

Passo 2

Primeiro simplificamos a função usando \ln(\sqrt{u})=\tfrac12\ln(u). Então
f(x)=\ln\bigl((3x^{2}+1)^{1/2}\bigr)=\tfrac12\,\ln\bigl(3x^{2}+1\bigr).

Passo 3

Agora aplicamos a derivada de \ln(v) que é v'/v e multiplicamos pelo fator \tfrac12. Temos
f'(x) =\tfrac12\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\ln(3x^{2}+1)\bigr] =\tfrac12\cdot\frac{6x}{3x^{2}+1} =\frac{3x}{3x^{2}+1}.

Resposta

f'(x)=\frac{3x}{3x^{2}+1}.

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