Derive as funções abaixo:
f(x)=\left(4 x^{2}-2\right)^{6} e^{2 \cos (\pi x)}, x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(4x^{2}-2\bigr)^{6}\,e^{2\cos(\pi x)},
que envolve a aplicação da regra do produto e da regra da cadeia (para potências e para a exponencial composta com cosseno).

Passo 2

Definimos
u(x) = \bigl(4x^{2}-2\bigr)^{6} \quad\text{e}\quad v(x) = e^{2\cos(\pi x)}.
Para derivar u(x) usamos a regra da cadeia:
u'(x) = 6\bigl(4x^{2}-2\bigr)^{5}\,\frac{d}{dx}(4x^{2}-2) =6\bigl(4x^{2}-2\bigr)^{5}\cdot8x =48x\bigl(4x^{2}-2\bigr)^{5}.

Passo 3

Para derivar v(x) também aplicamos a regra da cadeia na exponencial:
v'(x) =e^{2\cos(\pi x)}\;\frac{d}{dx}\bigl(2\cos(\pi x)\bigr) =e^{2\cos(\pi x)}\cdot2\bigl(-\sin(\pi x)\bigr)\,\pi =-2\pi\sin(\pi x)\,e^{2\cos(\pi x)}.

Passo 4

Agora usamos a regra do produto:
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x) =48x\bigl(4x^{2}-2\bigr)^{5}\,e^{2\cos(\pi x)} \;+\;\bigl(4x^{2}-2\bigr)^{6}\,\bigl(-2\pi\sin(\pi x)\bigr)\,e^{2\cos(\pi x)}.

Passo 5

Factorizamos os termos comuns \bigl(4x^{2}-2\bigr)^{5}e^{2\cos(\pi x)}:
f'(x) =e^{2\cos(\pi x)}\,(4x^{2}-2)^{5} \Bigl[48x \;-\;2\pi\sin(\pi x)\,(4x^{2}-2)\Bigr].

Resposta

f'(x) = e^{2\cos(\pi x)}\,(4x^{2}-2)^{5} \Bigl(48x \;-\;2\pi\,(4x^{2}-2)\,\sin(\pi x)\Bigr).

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