Derive as funções abaixo:
f(x)=\frac{3 e^{x}+5 x^{2} \ln (2 x)}{\sqrt{5 x^{2}+1}}, x>0.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{3e^{x}+5x^{2}\ln(2x)}{\sqrt{5x^{2}+1}},\quad x>0.
O conteúdo necessário é: regra do quociente, regra do produto, derivada de exponencial, derivada de logaritmo e regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
u(x)=3e^{x}+5x^{2}\ln(2x), \quad v(x)=\sqrt{5x^{2}+1}=(5x^{2}+1)^{1/2}.
Pela regra do quociente,
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.

Passo 3

Calculamos u'(x). Note que u é soma de 3e^{x} e 5x^{2}\ln(2x).
  • \displaystyle\frac{d}{dx}[3e^{x}]=3e^{x}.
  • Para \displaystyle5x^{2}\ln(2x), use produto g(x)=5x^{2}, h(x)=\ln(2x):
g'(x)=10x, \quad h'(x)=\frac{1}{x}.
Logo
\frac{d}{dx}[5x^{2}\ln(2x)] =g'(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x) =10x\ln(2x)+5x^{2}\cdot\frac{1}{x} =10x\ln(2x)+5x.
Portanto
u'(x)=3e^{x}+10x\ln(2x)+5x.

Passo 4

Calculamos v'(x) usando regra da cadeia em (5x^{2}+1)^{1/2}:
v'(x) =\tfrac12(5x^{2}+1)^{-1/2}\cdot10x =\frac{5x}{\sqrt{5x^{2}+1}}.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =\frac{\bigl[3e^{x}+10x\ln(2x)+5x\bigr]\sqrt{5x^{2}+1} -\bigl[3e^{x}+5x^{2}\ln(2x)\bigr]\displaystyle\frac{5x}{\sqrt{5x^{2}+1}}} {5x^{2}+1}.
Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{5x^{2}+1} obtemos
f'(x) =\frac{\bigl(3e^{x}+10x\ln(2x)+5x\bigr)(5x^{2}+1)-5x\bigl(3e^{x}+5x^{2}\ln(2x)\bigr)} {(5x^{2}+1)^{3/2}}.

Passo 6

Expandindo e agrupando termos no numerador:
  1. Termos em e^{x}:
    (3e^{x})(5x^{2}+1)-5x\cdot3e^{x} =3e^{x}(5x^{2}+1-5x) =3e^{x}(5x^{2}-5x+1). 2. Termos em \ln(2x):
    (10x\ln(2x))(5x^{2}+1)-5x\cdot5x^{2}\ln(2x) =10x(5x^{2}+1)\ln(2x)-25x^{3}\ln(2x) =5x(5x^{2}+2)\ln(2x). 3. Termos polinomiais sem e^{x} nem \ln:
    (5x)(5x^{2}+1)=5x(5x^{2}+1). Juntando,
\text{num} =3(5x^{2}-5x+1)e^{x} +5x(5x^{2}+2)\ln(2x) +5x(5x^{2}+1).

Resposta

\boxed{ f'(x) =\frac{3\bigl(5x^{2}-5x+1\bigr)e^{x} +5x\bigl(5x^{2}+2\bigr)\ln(2x) +5x\bigl(5x^{2}+1\bigr)} {(5x^{2}+1)^{3/2}} }.

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