Considere a função de expressão f(x)=(x+1) e^{-x}.
(a) Determine o domínio da f. (Maximal)
(b) Determine as intersegöes do gráfico da f \mathrm{com} os eixos coordenados, caso existam.
(c) Verifique se o gráfico da f possui assíntotas verticas e/ou horizontais. Caso possua, especifique a equação de cada assíntota.
(d) Mostre que f^{\prime}(x)=-x e^{-x} e estude seu sinal. Especifique os intervalos de crescimento e decrescimento da f, diga se possui extremos locais e os classifique.
(e) Mostre que f^{\prime \prime}(x)=x e^{-x}-e^{-x} e estude seu sinal. Especifique os intervalos onde o gráfico tem concavidade para cima e para baixo. Diga se o gráfico da f possui algum ponto de inflexão.
(f) Esboce o gráfico da f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=(x+1)e^{-x}
e pede:
(a) domínio de f,
(b) interseções com os eixos,
(c) assíntotas verticais e horizontais,
(d) derivada primeira, seu sinal, monotonia e extremos,
(e) derivada segunda, concavidade e ponto de inflexão,
(f) esboço do gráfico.

Passo 2

Como (x+1) é polinomial e e^{-x} está definida para todo x\in\mathbb{R}, o domínio de f é \mathbb{R}.

Passo 3

Interseção com o eixo x y=0:
f(x)=0\;\Longrightarrow\;(x+1)e^{-x}=0\;\Longrightarrow\;x+1=0\;\Longrightarrow\;x=-1.
Logo há intercepto em \bigl(-1,0\bigr).
Interseção com o eixo y x=0:
f(0)=(0+1)e^{0}=1,
ou seja, ponto \bigl(0,1\bigr).

Passo 4

Não há assíntotas verticais porque o domínio é todo \mathbb{R}.
Para x\to+\infty, e^{-x}\to0^+ e x+1>0, daí
\lim_{x\to+\infty}f(x)=0,
ou seja, assíntota horizontal y=0 pela direita.
Para x\to-\infty, (x+1)\to-\infty e e^{-x}\to+\infty, fazendo f(x)\to-\infty, sem assíntota horizontal.

Passo 5

Calculamos
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[(x+1)e^{-x}\bigr] =e^{-x}+(x+1)\bigl(-e^{-x}\bigr) =-x\,e^{-x}.
Como e^{-x}>0, o sinal de f'(x) é o de -x:
- f'(x)>0 se x<0 (função crescente),
- f'(x)=0 em x=0,
- f'(x)<0 se x>0 (função decrescente).
Em x=0 ocorre um máximo local. O valor é f(0)=1.

Passo 6

Derivando de novo,
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl[-x\,e^{-x}\bigr] =-e^{-x}-x\bigl(-e^{-x}\bigr) =(x-1)\,e^{-x}.
Como e^{-x}>0, o sinal de f''(x) é o de x-1:
- f''(x)<0 se x<1 (concavidade para baixo),
- f''(x)=0 em x=1,
- f''(x)>0 se x>1 (concavidade para cima).
Portanto há ponto de inflexão em x=1, com f(1)=2e^{-1}.

Passo 7

Esboço do gráfico:
- Vem de -\infty quando x\to-\infty,
- Cresce até cruzar o eixo x em (-1,0),
- Alcança máximo em (0,1),
- Desce com concavidade para baixo até x=1, ponto de inflexão \bigl(1,2/e\bigr),
- Continua decrescendo já côncavo para cima e se aproxima de y=0 quando x\to+\infty.

Resposta

(a) \mathrm{Dom}\,f=\mathbb{R}.
(b) Interseções: (-1,0) com o eixo x e (0,1) com o eixo y.
(c) Sem assíntotas verticais; assíntota horizontal y=0 quando x\to+\infty.
(d) f'(x)=-x\,e^{-x}. Cresce em (-\infty,0), decresce em (0,\infty). Máximo local em (0,1).
(e) f''(x)=(x-1)e^{-x}. Côncavo para baixo em (-\infty,1), côncavo para cima em (1,\infty). Ponto de inflexão em \bigl(1,2/e\bigr).
(f) Esboço conforme descrito no passo 7.

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