Considere a função de expressão
.
(a) Determine o domínio da
. (Maximal)
(b) Determine as intersegöes do gráfico da
os eixos coordenados, caso existam.
(c) Verifique se o gráfico da
possui assíntotas verticas e/ou horizontais. Caso possua, especifique a equação de cada assíntota.
(d) Mostre que
e estude seu sinal. Especifique os intervalos de crescimento e decrescimento da
, diga se possui extremos locais e os classifique.
(e) Mostre que
e estude seu sinal. Especifique os intervalos onde o gráfico tem concavidade para cima e para baixo. Diga se o gráfico da
possui algum ponto de inflexão.
(f) Esboce o gráfico da
.
(a) Determine o domínio da
(b) Determine as intersegöes do gráfico da
(c) Verifique se o gráfico da
(d) Mostre que
(e) Mostre que
(f) Esboce o gráfico da
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
(a) domínio de ,
(b) interseções com os eixos,
(c) assíntotas verticais e horizontais,
(d) derivada primeira, seu sinal, monotonia e extremos,
(e) derivada segunda, concavidade e ponto de inflexão,
(f) esboço do gráfico.
(a) domínio de
(b) interseções com os eixos,
(c) assíntotas verticais e horizontais,
(d) derivada primeira, seu sinal, monotonia e extremos,
(e) derivada segunda, concavidade e ponto de inflexão,
(f) esboço do gráfico.
Passo 2
Como
é polinomial e
está definida para todo
, o domínio de
é
Passo 3
Interseção com o eixo
:
Logo há intercepto em
.
Interseção com o eixo :
Interseção com o eixo
ou seja, ponto
.
Passo 4
Não há assíntotas verticais porque o domínio é todo
.
Para ,
e
, daí
Para
ou seja, assíntota horizontal
pela direita.
Para ,
e
, fazendo
, sem assíntota horizontal.
Para
Passo 5
Calculamos
Como
, o sinal de
é o de
:
- se
(função crescente),
- em
,
- se
(função decrescente).
Em ocorre um máximo local. O valor é
.
-
-
-
Em
Passo 6
Derivando de novo,
Como
, o sinal de
é o de
:
- se
(concavidade para baixo),
- em
,
- se
(concavidade para cima).
Portanto há ponto de inflexão em , com
.
-
-
-
Portanto há ponto de inflexão em
Passo 7
Esboço do gráfico:
- Vem de quando
,
- Cresce até cruzar o eixo em
,
- Alcança máximo em ,
- Desce com concavidade para baixo até , ponto de inflexão
,
- Continua decrescendo já côncavo para cima e se aproxima de quando
.
- Vem de
- Cresce até cruzar o eixo
- Alcança máximo em
- Desce com concavidade para baixo até
- Continua decrescendo já côncavo para cima e se aproxima de
Resposta
(a)
(b) Interseções: com o eixo
e
com o eixo
.
(c) Sem assíntotas verticais; assíntota horizontal quando
.
(d) . Cresce em
, decresce em
. Máximo local em
.
(e) . Côncavo para baixo em
, côncavo para cima em
. Ponto de inflexão em
.
(f) Esboço conforme descrito no passo 7.
(b) Interseções:
(c) Sem assíntotas verticais; assíntota horizontal
(d)
(e)
(f) Esboço conforme descrito no passo 7.