Justifique, baseado nas aulas, as seguintes afirmações: Se a e b são números reais diferentes de zero, então a b é diferente de zero.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: precisamos provar que, no conjunto dos números reais, a multiplicação de dois elementos não nulos nunca gera zero. O tema aqui é a propriedade de não existência de divisores de zero em um corpo (ou domínio de integridade), que no caso é ℝ.

Passo 2

Teoria relevante: sabemos que ℝ, com as operações usuais, forma um corpo. Uma das propriedades de um corpo é que não existem divisores de zero, ou seja, para quaisquer x,y∈ℝ,se x⋅y=0 então x=0 ou y=0.

Passo 3

Uso do contrapositivo: para demonstrar “se A então B” é equivalente mostrar seu contrapositivo “se não B então não A”. Aqui A é “a≠0 e b≠0” e B é “ab≠0”. O contrapositivo fica: “se ab=0 então a=0 ou b=0”, que é exatamente a ausência de divisores de zero no corpo dos reais.

Passo 4

Conclusão: como no corpo dos reais vale “se ab=0 então a=0 ou b=0”, pelo contrapositivo obtemos que, se a≠0 e b≠0, então ab≠0.

Resposta

Portanto, para quaisquer números reais não nulos a e b, o produto ab é necessariamente diferente de zero; isto é, abneq0.

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