Justifique, baseado nas aulas, as seguintes afirmações: Se
e
são números reais diferentes de zero, então
é diferente de zero.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo: precisamos provar que, no conjunto dos números reais, a multiplicação de dois elementos não nulos nunca gera zero. O tema aqui é a propriedade de não existência de divisores de zero em um corpo (ou domínio de integridade), que no caso é ℝ.
Passo 2
Teoria relevante: sabemos que ℝ, com as operações usuais, forma um corpo. Uma das propriedades de um corpo é que não existem divisores de zero, ou seja, para quaisquer x,y∈ℝ,se x⋅y=0 então x=0 ou y=0.
Passo 3
Uso do contrapositivo: para demonstrar “se A então B” é equivalente mostrar seu contrapositivo “se não B então não A”. Aqui A é “a≠0 e b≠0” e B é “ab≠0”. O contrapositivo fica: “se ab=0 então a=0 ou b=0”, que é exatamente a ausência de divisores de zero no corpo dos reais.
Passo 4
Conclusão: como no corpo dos reais vale “se ab=0 então a=0 ou b=0”, pelo contrapositivo obtemos que, se a≠0 e b≠0, então ab≠0.
Resposta
Portanto, para quaisquer números reais não nulos a e b, o produto ab é necessariamente diferente de zero; isto é,
.