Derive as funções abaixo.
f(x)=\operatorname{tg}[\ln (a x+b)]

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\operatorname{tg}[\ln(ax+b)]. O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, junto com as derivadas de \operatorname{tg}(u) e de \ln(u).

Passo 2

Definimos duas funções internas para aplicar a regra da cadeia: seja u(x)=\ln(ax+b) e v(u)=\operatorname{tg}(u). Assim f(x)=v(u(x)). A regra da cadeia diz que
f'(x)=v'\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).

Passo 3

Agora calculamos cada derivada interna. Para v(u)=\operatorname{tg}(u) sabemos que
v'(u)=\operatorname{sec}^2(u).
Para u(x)=\ln(ax+b) a derivada é
u'(x)=\frac{1}{ax+b}\cdot a = \frac{a}{ax+b}.

Passo 4

Substituindo em f'(x)=v'(u(x))\,u'(x) obtemos
f'(x)=\operatorname{sec}^2\bigl(u(x)\bigr)\;\frac{a}{ax+b}.
Como u(x)=\ln(ax+b), isso fica
f'(x)=\frac{a}{ax+b}\,\operatorname{sec}^2\!\bigl(\ln(ax+b)\bigr).

Resposta

f'(x)=\frac{a}{ax+b}\,\operatorname{sec}^2\!\bigl(\ln(ax+b)\bigr).

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