Derive as funções abaixo.
f(x)=\ln (\operatorname{sec} x+\operatorname{tg} x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função \displaystyle f(x)=\ln\bigl(\operatorname{sec} x+\tan x\bigr).
Para resolver, vamos usar a regra da cadeia e as derivadas de \operatorname{sec} x e \tan x.

Passo 2

Defina \displaystyle u(x)=\operatorname{sec} x+\tan x.
Pela regra da cadeia, a derivada de f é
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Sabemos que
\frac{d}{dx}[\operatorname{sec} x]=\operatorname{sec} x\tan x \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}[\tan x]=\operatorname{sec}^2 x.
Logo,
u'(x)=\operatorname{sec} x\tan x+\operatorname{sec}^2 x.

Passo 4

Substituindo em
f'(x) =\frac{\operatorname{sec} x\tan x+\operatorname{sec}^2 x}{\operatorname{sec} x+\tan x},
observe que no numerador podemos fatorar \operatorname{sec} x:
\operatorname{sec} x\tan x+\operatorname{sec}^2 x =\operatorname{sec} x\,(\tan x+\operatorname{sec} x).
Isso leva a
f'(x) =\frac{\operatorname{sec} x\,(\tan x+\operatorname{sec} x)}{\operatorname{sec} x+\tan x} =\operatorname{sec} x.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\operatorname{sec} x

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