Use a fórmula do exercício anterior para derivar as seguintes funções
y=(2+\operatorname{sen} x)^{\cos 3 x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \bigl(2 + \sin x\bigr)^{\cos 3x}.
Aqui a base e o expoente são funções de x, então vamos usar diferenciação logarítmica, que é a técnica mais direta para potências do tipo f(x)^{g(x)}.

Passo 2

Tomamos logaritmo natural dos dois lados:
\ln y = \cos(3x)\,\ln\bigl(2 + \sin x\bigr).

Passo 3

Derivamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo,
\frac{1}{y}\,y'.
No lado direito, aplicamos a regra do produto a \cos(3x) e \ln(2+\sin x):
\frac{d}{dx}\bigl[\cos(3x)\,\ln(2+\sin x)\bigr] = \bigl(-3\sin(3x)\bigr)\,\ln(2+\sin x) + \cos(3x)\,\frac{1}{2+\sin x}\,\cos x.
Logo,
\frac{y'}{y} = -3\sin(3x)\,\ln\bigl(2+\sin x\bigr) + \frac{\cos(3x)\,\cos x}{2+\sin x}.

Passo 4

Isolando y' e voltando à expressão original de y, temos
y' = y \;\Biggl[-3\sin(3x)\,\ln\bigl(2+\sin x\bigr) + \frac{\cos(3x)\,\cos x}{2+\sin x}\Biggr],
ou seja,

Resposta

y' = (2+\sin x)^{\cos 3x} \Bigl(-3\sin(3x)\,\ln(2+\sin x) + \frac{\cos(3x)\,\cos x}{2+\sin x}\Bigr).

Exercícios relacionados