Derive as funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para derivar a função $ f(x) = \left(x^{3} - \sqrt{x}\right)\left(1 - 5x^{2}\right) $. Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções, e vamos precisar usar a regra do produto, que é usada quando temos a derivada de duas funções multiplicadas uma pela outra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a regra do produto. Se você tem duas funções, digamos $ u(x) $ e $ v(x) $, então a derivada de $ u(x) \cdot v(x) $ é:
Ou seja, derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda, depois somamos a primeira função multiplicada pela derivada da segunda.
Passo 3
No nosso caso, vamos identificar $ u(x) $ e $ v(x) $:
Agora, vamos derivar $ u(x) $ e $ v(x) $.
Passo 4
Vamos derivar $ u(x) = x^{3} - \sqrt{x} $. Lembrando que $ \sqrt{x} = x^{1/2} $, a derivada fica:
Passo 5
Agora, vamos derivar $ v(x) = 1 - 5x^{2} $:
Passo 6
Aplicando a regra do produto, temos:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 7
Agora, vamos simplificar cada parte. Primeiro, multiplicamos $ \left(3x^{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}}\right) $ por $ (1 - 5x^{2}) $:
Passo 8
Agora, multiplicamos $ \left(x^{3} - \sqrt{x}\right) $ por $ -10x $:
Passo 9
Agora, juntamos tudo:
Vamos combinar os termos semelhantes:
Passo 10
Podemos deixar a resposta assim ou simplificar mais, mas essa já é uma forma correta da derivada.
Resposta
A derivada da função é: