Derive as funções abaixo:
f(x)=(x^3-raizx)(1-5 x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para derivar a função $ f(x) = \left(x^{3} - \sqrt{x}\right)\left(1 - 5x^{2}\right) $. Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções, e vamos precisar usar a regra do produto, que é usada quando temos a derivada de duas funções multiplicadas uma pela outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra do produto. Se você tem duas funções, digamos $ u(x) $ e $ v(x) $, então a derivada de $ u(x) \cdot v(x) $ é:
u(x)
Ou seja, derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda, depois somamos a primeira função multiplicada pela derivada da segunda.

Passo 3

No nosso caso, vamos identificar $ u(x) $ e $ v(x) $:
u(x)
Agora, vamos derivar $ u(x) $ e $ v(x) $.

Passo 4

Vamos derivar $ u(x) = x^{3} - \sqrt{x} $. Lembrando que $ \sqrt{x} = x^{1/2} $, a derivada fica:
u(x) = x^3 - raizx

Passo 5

Agora, vamos derivar $ v(x) = 1 - 5x^{2} $:
v(x) = 1 - 5x^2

Passo 6

Aplicando a regra do produto, temos:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Substituindo as derivadas que encontramos:
f'(x) = (3x^2 - 12raizx)(1 - 5x^2) + (x^3 - raizx)(-10x)

Passo 7

Agora, vamos simplificar cada parte. Primeiro, multiplicamos $ \left(3x^{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}}\right) $ por $ (1 - 5x^{2}) $:
(3x^2 - 12raizx)
(1 - 5x^2)

Passo 8

Agora, multiplicamos $ \left(x^{3} - \sqrt{x}\right) $ por $ -10x $:
(x^3 - raizx)
-10x

Passo 9

Agora, juntamos tudo:
f'(x) = (3x^2 - 15x^4 - 12raizx + 5x^22raizx) + (-10x^4 + 10x^3/2)
Vamos combinar os termos semelhantes:
= -15x^4 -10x^4 + 3x^2 + 5x^22raizx - 12raizx + 10x^3/2
= -25x^4 + 3x^2 + 5x^22raizx - 12raizx + 10x^3/2

Passo 10

Podemos deixar a resposta assim ou simplificar mais, mas essa já é uma forma correta da derivada.

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = -25x^4 + 3x^2 + 5x^22raizx - 12raizx + 10x^3/2

Exercícios relacionados