Universidade Federal do Pará (UFPA) <br> Instituto de Tecnologia (ITEC) <br> Faculdade de Engenharias Elétrica e Biomédica (FEEB) <br> 1^a Avaliação de Funções Especiais para Engenharia

Docente: Nilton Rodolfo N. M. Rodrigues
Discente:
Matrícula:
Data: 05/05/2023
Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial, utilizando série de potências:
y^prime prime-2 x y^prime+6 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=6

Passo 1

O problema pede para resolver a EDO y’’ − 2x
y’ + 6y = 0 com condições iniciais y(0)=0 e y’(0)=6 usando série de potências. O conteúdo é solução de equações diferenciais ordinárias por séries em torno de x=0, e vamos precisar assumir uma expansão y(x)=Σ a_n x^n, obter derivadas, substituir na EDO e achar uma relação de recorrência para os coeficientes a_n.

Passo 2

Assumimos a solução como série de potências:
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n,
e então derivamos termo a termo:
y'(x)=sumn=1^inftyn,an,x^n-1,
y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),an,x^n-2

Passo 3

Substituímos y, y’ e y’’ na EDO y’’ − 2x
y’ + 6y = 0 e alinhamos potências de x:
sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n -2sumn=0^inftyn,anx^n +6sumn=0^inftyanx^n=0
Agrupando em x^n, obtemos a relação de recorrência:
(n+2)(n+1)an+2+(6-2n)an=0
ou
an+2=2n-6(n+2)(n+1),an

Passo 4

Usamos as condições iniciais para achar os primeiros coeficientes: y(0)=a_0=0 e y’(0)=a_1=6. A partir da recorrência vemos que todos os a_{2k}=0 e que
a3=2cdot1-63cdot2a1=-46cdot6=-4,
enquanto a_5,e superiores ficam nulos. Assim a série termina em grau 3.

Passo 5

Escrevendo a solução obtida:
y(x)=a1x+a3x^3=6x-4x^3

Resposta

y(x)=6x-4x^3

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