Universidade Federal do Pará (UFPA) <br> Instituto de Tecnologia (ITEC) <br> Faculdade de Engenharias Elétrica e Biomédica (FEEB) <br>
Avaliação de Funções Especiais para Engenharia
Docente: Nilton Rodolfo N. M. Rodrigues
Discente:
Matrícula:
Data: 05/05/2023
Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial, utilizando série de potências:
Discente:
Matrícula:
Data: 05/05/2023
Encontre a solução do seguinte problema de valor inicial, utilizando série de potências:
Passo 1
O problema pede para resolver a EDO y’’ − 2x
y’ + 6y = 0 com condições iniciais y(0)=0 e y’(0)=6 usando série de potências. O conteúdo é solução de equações diferenciais ordinárias por séries em torno de x=0, e vamos precisar assumir uma expansão y(x)=Σ a_n x^n, obter derivadas, substituir na EDO e achar uma relação de recorrência para os coeficientes a_n.
y’ + 6y = 0 com condições iniciais y(0)=0 e y’(0)=6 usando série de potências. O conteúdo é solução de equações diferenciais ordinárias por séries em torno de x=0, e vamos precisar assumir uma expansão y(x)=Σ a_n x^n, obter derivadas, substituir na EDO e achar uma relação de recorrência para os coeficientes a_n.
Passo 2
Assumimos a solução como série de potências:
e então derivamos termo a termo:
Passo 3
Substituímos y, y’ e y’’ na EDO y’’ − 2x
y’ + 6y = 0 e alinhamos potências de x:
y’ + 6y = 0 e alinhamos potências de x:
Agrupando em x^n, obtemos a relação de recorrência:
ou
Passo 4
Usamos as condições iniciais para achar os primeiros coeficientes: y(0)=a_0=0 e y’(0)=a_1=6. A partir da recorrência vemos que todos os a_{2k}=0 e que
enquanto a_5,e superiores ficam nulos. Assim a série termina em grau 3.
Passo 5
Escrevendo a solução obtida:
Resposta
y(x)=6x-4x^3