Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto com a abscissa a indicada:
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Passo 1
Beleza, bora lá! Temos que achar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ k(t) = \frac{1}{\sqrt[3]{4t + 3}} $ no ponto onde $ t = 6 $. Isso envolve cálculo, especificamente derivadas, porque queremos a inclinação da reta tangente nesse ponto. Vamos precisar calcular o valor da função em $ t = 6 $ e a derivada dessa função para encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor da função $ k(t) $ quando $ t = 6 $. Substituindo $ t $ por 6 na função:
Sabemos que $ \sqrt[3]{27} = 3 $, então:
Portanto, o ponto de tangência é $ (6, \frac{1}{3}) $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função $ k(t) $ para determinar a inclinação da reta tangente no ponto $ t = 6 $. A derivada $ k’(t) $ nos dá a taxa de variação da função em relação a $ t $.
A função é $ k(t) = (4t + 3)^{-1/3} $. Vamos usar a regra da cadeia para derivar:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ k’(6) $ substituindo $ t $ por 6 na derivada:
Sabemos que $ 27^{1/3} = 3 $, então $ 27^{-4/3} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81} $. Portanto:
A inclinação da reta tangente no ponto $ t = 6 $ é $ -\frac{4}{243} $.
Passo 5
Agora que temos o ponto $ (6, \frac{1}{3}) $ e a inclinação da reta tangente $ m = -\frac{4}{243} $, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente é
Ou, simplificando: