Derive as funções abaixo:
f(x)=sin (x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função ,f(x)=sin(x). Vamos usar a definição de derivada pela razão de diferenças e a fórmula de adição de ângulos para o seno.

Passo 2

Pela definição,
f'(x)=limhto0sin(x+h)-sin(x)h
Usando a identidade sin(x+h)=sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h), temos
sin(x+h)-sin(x) =sin(x)l(cos(h)-1r)+cos(x)sin(h)

Passo 3

Substituindo na razão de diferenças e separando termos:
f'(x) =limhto0[sin(x),cos(h)-1h +cos(x),sin(h)h]
Sabemos que
limhto0sin(h)h=1 e limhto0cos(h)-1h=0
Logo,
f'(x)=sin(x)cdot0+cos(x)cdot1=cos(x)

Resposta

f'(x)=cos(x)

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