1. (e^x+e^-x) d yd x=y^2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(e^x+e^-xr),dydx=y^2
É uma equação de variáveis separáveis: podemos colocar todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro para depois integrar.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
1y^2,dy ;=;1e^x+e^-x,dx

Passo 3

Integre o lado esquerdo:
integral 1y^2,dy =integral y^-2,dy =-,y^-1+C1 =-1y+C1

Passo 4

Para o lado direito, note que
1e^x+e^-x =e^xe^2x+1
Fazendo u=e^x, du=e^xdx, temos
integral 1e^x+e^-x,dx =integral e^xe^2x+1,dx =integral duu^2+1 =arctan(u)+C2 =arctanl(e^xr)+C2

Passo 5

Igualando as integrais (absorvendo C1 e C2 num único C),
-1y =arctanl(e^xr)+C Longrightarrow 1y =-arctanl(e^xr)-C =C'-arctanl(e^xr)
Onde C' é uma nova constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
y(x) =1C-arctanl(e^xr),
onde C é constante de integração.

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