- Prove as seguintes identidades
Passo 1
O enunciado pede para provar cinco identidades envolvendo coeficientes binomiais e somas telescópicas. O conteúdo principal é combinatória (interpretação de
), propriedades algébricas de fatoriais e soma de potências (para os casos de
e
). Vamos usar (i) definição de coeficiente binomial via fatoriais e interpretação combinatória de “escolhas em etapas”, (ii) fórmulas clássicas de soma de inteiros e quadrados, e (iii) telescópio em somas de fatoriais.
Passo 2
Prova de
por álgebra de fatoriais:
Agora fatoramos
de modo que
Passo 3
Prova de
por interpretação combinatória: queremos escolher
elementos de um conjunto de tamanho
dividido em dois blocos de tamanhos
e
. Se escolhemos
do primeiro bloco (
formas) e
do segundo (
formas), somando para
cobrimos todas as possibilidades, totalizando
.
Passo 4
Prova de
Isto é caso especial da identidade do passo anterior com
, pois
e em seguida permutar
. Ou extração de coeficiente em
e para
obtemos exatamente o sumatório acima igual a
.
Passo 5
Prova de
Note que
Logo
Sabemos que
e
.
Substituindo:
Substituindo:
Passo 6
Prova de
Observe que
Então a soma telescopa:
Como
, resulta
.