- Seja
uma sequência definida por
Prove que
para todo
.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
e para
O que queremos mostrar é que
para todo
. Vamos usar o princípio da indução matemática.
Passo 2
Verificamos os casos iniciais
:
Para : temos
e
, logo
.
Para : temos
e
, logo
.
Para : temos
e
, logo
.
Assim, a desigualdade vale para .
Para
Para
Para
Assim, a desigualdade vale para
Passo 3
Suponha agora que a propriedade
seja verdadeira para todo
com
, onde
. Essa é a hipótese de indução.
Passo 4
Usando a hipótese de indução e a definição recursiva, para
temos
Agora fatoramos
:
Como
, segue que
logo
Isso fecha o passo indutivo.
Resposta
Portanto, por indução,
para todo
.