Derive as funções abaixo:
f(x)=(x^8 x+sen(4 x)) sec (2 x)

Passo 1

Temos a função f(x)=(x^8x+sin(4x))sec(2x). O conteúdo aqui é derivada de produto de funções, além de derivadas de x^g(x) e funções trigonométricas; vamos usar regra do produto, regra da cadeia e a técnica de reescrever x^8x=e^8xln x.

Passo 2

Para derivar x^8x, escrevemos x^8x=e^8xln x e aplicamos a regra da cadeia:
ddxl(x^8xr)=x^8xcdotddx(8xln x)=x^8xl(8ln x+8r)
A derivada de sin(4x) usa regra da cadeia:
ddxl(sin(4x)r)=cos(4x)cdot4=4cos(4x)
Logo, se definirmos u(x)=x^8x+sin(4x), temos
$$
u’(x)=x^{8x}(8\ln x+8)+4\cos(4x). u'(x)=x^8x(8ln x+8)+4cos(4x)
v’(x)=\sec(2x)\tan(2x)\cdot2=2\sec(2x)\tan(2x). v(x)=sec(2x)
f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x). ddxsec t=sec ttan tcdot t'
f’(x)=\bigl[x^{8x}(8\ln x+8)+4\cos(4x)\bigr]\sec(2x)+\bigl[x^{8x}+\sin(4x)\bigr]\bigl[2\sec(2x)\tan(2x)\bigr]. v'(x)=sec(2x)tan(2x)cdot2=2sec(2x)tan(2x)
f’(x)=\sec(2x)\Bigl[x^{8x}(8\ln x+8)+4\cos(4x)+2\bigl(x^{8x}+\sin(4x)\bigr)\tan(2x)\Bigr].$$

Resposta

f'(x)=sec(2x)l[x^8x(8ln x+8)+4cos(4x)+2l(x^8x+sin(4x)r)tan(2x)r]

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