Verifique que a função dada é uma solução explícita da equação diferencial ordinária em questão.
y^prime prime-6 y^prime+13 y=0 ; y(x)=e^3 x cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função y(x)=e^3xcos(2x) satisfaz a equação diferencial y''-6y'+13y=0. O conteúdo é ODE linear homogênea com coeficientes constantes e vamos precisar calcular y' e y'' e depois substituir na equação.

Passo 2

Calcular a primeira derivada usando a regra do produto: y=e^3xcos(2x). Então
y'=ddxl(e^3xr)cos(2x)+e^3xddxl(cos(2x)r)=3e^3xcos(2x)-2e^3xsin(2x)=e^3xl(3cos(2x)-2sin(2x)r)

Passo 3

Calcular a segunda derivada aplicando a regra do produto de novo sobre y'=e^3x(3cos(2x)-2sin(2x)):
y''=3e^3x(3cos(2x)-2sin(2x))+e^3xl(-6sin(2x)-4cos(2x)r)=e^3xl(5cos(2x)-12sin(2x)r)

Passo 4

Substituir y, y' e y'' na equação y''-6y'+13y:
y''-6y'+13y=e^3x(5cos2x-12sin2x)-6e^3x(3cos2x-2sin2x)+13e^3xcos2x

Passo 5

Fatorando e^3x e agrupando termos de cos2x e sin2x temos:
e^3xl(5-18+13r)cos2x+e^3xl(-12+12r)sin2x=0

Passo 6

Como o resultado é zero, a função satisfaz a equação diferencial.

Resposta

De fato, ao calcular y', y'' e substituir em y''-6y'+13y, obtemos zero, logo y(x)=e^3xcos(2x) é solução da ODE.

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