Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede o limite de uma função de três variáveis: queremos
calcular . O conteúdo aqui é limite em várias variáveis e vamos precisar usar uma desigualdade para comparar a taxa de decaimento do numerador e do denominador.
Passo 2
Para comparar as ordens de grandeza, definimos . Então , e . Assim o numerador satisfaz
e o denominador é
Logo dividindo as duas expressões, temos
Como rto0 quando (x,y,z)to(0,0,0), o lado direito vai a zero.
Passo 3
Pelo teorema do confronto (sandwich), se uma função de valor absoluto é limitada por outra que tende a zero, então ela também tende a zero. Portanto concluímos que o limite existe e vale zero.