Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (0.0 0) x^2 y^2 z^2x^2+y^2+z^2

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de três variáveis: queremos
calcular lim(x,y,z)to(0,0,0) x^2y^2z^2x^2+y^2+z^2. O conteúdo aqui é limite em várias variáveis e vamos precisar usar uma desigualdade para comparar a taxa de decaimento do numerador e do denominador.

Passo 2

Para comparar as ordens de grandeza, definimos r=raizx^2+y^2+z^2. Então x^2<= r^2, y^2<= r^2 e z^2<= r^2. Assim o numerador satisfaz
|x^2y^2z^2| <= r^2 cdot r^2 cdot r^2 = r^6
e o denominador é
x^2+y^2+z^2 = r^2
Logo dividindo as duas expressões, temos
|x^2y^2z^2x^2+y^2+z^2| <= r^6r^2 = r^4
Como rto0 quando (x,y,z)to(0,0,0), o lado direito vai a zero.

Passo 3

Pelo teorema do confronto (sandwich), se uma função de valor absoluto é limitada por outra que tende a zero, então ela também tende a zero. Portanto concluímos que o limite existe e vale zero.

Resposta

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