Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto com a abscissa a indicada:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ w(t) = e^{t} - t $ no ponto onde a abscissa (valor de $ t $) é igual a $ a = -2 $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para calcular a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Passo 2
Vamos começar calculando o valor de $ w(-2) $. Substituímos $ t = -2 $ na função:
Isso nos dá a coordenada $ y $ do ponto de tangência.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função $ w(t) $, que nos dará a inclinação da reta tangente. A derivada de $ w(t) = e^{t} - t $ é:
Passo 4
Calculamos a derivada no ponto $ t = -2 $:
Essa é a inclinação da reta tangente no ponto considerado.
Passo 5
Com o ponto $ (a, w(a)) $ e a inclinação $ w’(a) $, usamos a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente é: