Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto com a abscissa a indicada:
w(t)=e^t-t ; a=-2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ w(t) = e^{t} - t $ no ponto onde a abscissa (valor de $ t $) é igual a $ a = -2 $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para calcular a inclinação da reta tangente nesse ponto.

Passo 2

Vamos começar calculando o valor de $ w(-2) $. Substituímos $ t = -2 $ na função:
w(-2)
Isso nos dá a coordenada $ y $ do ponto de tangência.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função $ w(t) $, que nos dará a inclinação da reta tangente. A derivada de $ w(t) = e^{t} - t $ é:
w(t)

Passo 4

Calculamos a derivada no ponto $ t = -2 $:
t = -2
Essa é a inclinação da reta tangente no ponto considerado.

Passo 5

Com o ponto $ (a, w(a)) $ e a inclinação $ w’(a) $, usamos a fórmula da equação da reta:
(a, w(a))
Substituindo os valores que encontramos:
w'(a)
Simplificando:
y - w(a) = w'(a)(x - a)

Resposta

A equação da reta tangente é:
y = (e^-2 - 1)x + 2(e^-2 + 1)

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