Derive as funções abaixo:
h(x)=(raizx+1raiz[3]x)^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
h(x)=l(raizx+1raiz[3]xr)^2
O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia (para a potência ao quadrado) em combinação com a regra do poder (para derivar radicais). Vamos primeiro reescrever as raízes como potências, definir uma função interna g(x) e depois aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevendo as raízes como potências, temos
raizx=x^tfrac12, 1raiz[3]x=x^-tfrac13
Definimos
g(x)=x^tfrac12+x^-tfrac13,
de modo que
h(x)=l(g(x)r)^2
Pela regra da cadeia,
h'(x)=2,g(x),g'(x)

Passo 3

Calcular g'(x) usando a regra do poder em cada termo:
  • Para x^tfrac12, a derivada é tfrac12,x^-tfrac12.
  • Para x^-tfrac13, a derivada é -tfrac13,x^-tfrac43.
    Logo,
g'(x)=12,x^-tfrac12-13,x^-tfrac43

Passo 4

Substituindo em h'(x)=2,g(x),g'(x), obtemos
h'(x) =2l(x^tfrac12+x^-tfrac13r)l(tfrac12,x^-tfrac12-tfrac13,x^-tfrac43r) =l(x^tfrac12+x^-tfrac13r)l(x^-tfrac12-tfrac23,x^-tfrac43r)

Passo 5

Agora simplificamos cada produto somando os expoentes:
x^tfrac12cdot x^-tfrac12=1, x^-tfrac13cdot x^-tfrac12=x^-tfrac56, x^tfrac12cdot x^-tfrac43=x^-tfrac56, x^-tfrac13cdot x^-tfrac43=x^-tfrac53
Assim,
h'(x) =1 + x^-tfrac56 ;-;23,x^-tfrac56;-;23,x^-tfrac53 =1 +l(1-tfrac23r)x^-tfrac56-tfrac23,x^-tfrac53 =1 +tfrac13,x^-tfrac56-tfrac23,x^-tfrac53

Resposta

h'(x)=1+13,x^5/6-23,x^5/3

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